求方程解的更简单方法

Question

我有以下等式：

f(N):  N = ((1+lam)^3 )/ ((1-lam)*(1+lam^2));

我需要创建一个函数来查找指定 N 的 lam。

现在我正在使用简单的循环来完成它：

lam = 0.9999;
n = f(lam);
pow = 0;
delta = 0.1;
while(abs(N - n)) > 0.1 & pow < 10000)
    lam = lam - 0.001;
    n = f(lam)
    pow = pow+1;
end

如何在不使用循环的情况下更准确地解决它？

Answer 1

如果你有

N = ((1+lam)^3 )/ ((1-lam)*(1+lam^2))

那么你知道

(1+lam)^3 = N*(1-lam)*(1+lam^2)

假设你要扩展这些术语？合并成一个简单的三次方程，其实系数为零？有没有一个功能可以帮你解决这个问题？

答案是肯定的。一种解决方案可能是使用 fzero，但由于方程只是一个三次多项式，因此根就是答案，除非您需要符号解。使用符号工具箱解决符号问题。

Answer 2

这是 Wolfram Alpha 提出的 N=10 的解决方案：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx^3)/((1-x)*(1%2Bx^2))%3D10

代数解决方案适用于您的特定情况，因为它并不是非常困难。问题在于，一般来说，非线性方程需要迭代解：从猜测开始，朝特定方向迈进，并希望收敛到解。如果没有迭代和循环，您就无法求解一般的非线性方程。

Answer 3

将方程重新排列为 0 = f(x)/g(x)（其中 f 和 g 是多项式）。然后求解0 = f(x)。这应该很容易，因为 f 将是立方的（http:// en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#Roots_of_a_cubic_function）。事实上，Matlab 有 roots() 函数来执行此操作。

Answer 4

绘图表明，对于 N 个正数，在区间 [-1,1) 内只有一个解。您应该考虑牛顿法，它会很快收敛到零初始猜测。

Answer 5

您可以以封闭形式求解该方程，正如其他答案中所讨论的那样，但说实话，次数 > 的多项式的封闭形式解2 在实践中并不是很有用，因为结果往往条件较差。

对于你的特定多项式，我同意亚历山大的观点，牛顿方法可能是正确的选择。

但从长远来看，我强烈建议编写（或从互联网上重用）Jenkins-Traub 寻根算法的实现。维基百科将其描述为“实际上是黑盒多项式求根器的标准”，他们并没有夸大其词。多年来它满足了我所有多项式求解的需求；根据我的经验，它比牛顿方法（不依赖于良好的初始猜测）和基于特征值的方法更稳健，并且启动速度相当快。

Answer 6

对于大多数 N 值，您的问题有一个代数解决方案。这是解决方案，由 Wolfram Alpha 解决:

if N+1!=0
   x = (20 N^3+18 N^2+3 sqrt(3) sqrt(16 N^6+32 N^5-20 N^4-72 N^3-9 N^2+54 N+27)-27 N-27)^(1/3)/(3 2^(1/3) (N+1))-(2^(1/3) (2 N^2+3 N))/(3 (N+1) (20 N^3+18 N^2+3 sqrt(3) sqrt(16 N^6+32 N^5-20 N^4-72 N^3-9 N^2+54 N+27)-27 N-27)^(1/3))+N/(3 (N+1))

是的，很丑。

如果你有一个精确的代数解，即使是像这样一个又大又难看的解，也总是优于数值解。正如达菲莫所指出的，用数值方法解决问题需要迭代（因此速度很慢），并且求解器可能会陷入局部最小值。