需要 3D 旋转算法

Question

给定两个正交单位向量 A 和 B，以及两个不同的正交单位向量 C 和 D，我需要 3x3 方向余弦矩阵或四元数，它将旋转 A 以与 C 对齐，并将旋转 B 以与 D 对齐。

向量是所有 3 向量 (x, y, z)。

我有一个强力算法，但我几乎可以肯定有一个更简单的解决方案。我的网络搜索还没有发现这一点。

我正在使用 C#，但如果您有 C、FORTRAN 或 Basic（等）语言的内容，我可以将其转换。或者，我可以使用数学上写出的术语。

该应用程序正在确定航天器所需的方向，以便牢固地连接到航天器上的光学设备能够正确对齐以拍照。 （必须实现瞄准镜方向和光学装置绕瞄准镜的适当旋转，因此需要立即对准两个矢量。）该计算可以在由实时感测数据馈送的循环中使用，并且暴力解决方案太慢。

Answer 1

我重读了你的问题，下面的答案（虽然是正确的）并没有给你你想要的。此链接是关于构造 3x3 旋转矩阵。

由于它们都是正交单位向量，因此您只需要分别添加一个即可构建基础（为此使用叉积）。所以现在你有两个基础{A，B，AxB}和{C，D，CxD}。将 {A, B} 移动到 {C, D} 上的旋转会将向量 a1A + a2B + a3(AXB) 重新表示为 b1C + b2D + b3(CxD)。因为它是线性的，所以你只需要知道它在基础上的行为方式（这唯一地确定了线性变换）。因此，以 {A, B, ..} 为基础，令变换为 T，我们看到 T(1, 0, 0) = C, T(0, 1, 0) = D 和 T(0, 0, 1) = CxD。记住 A = (1, 0, 0) 等。但是这个矩阵的列只是 M =(C, D, CxD)

要按原样使用这个矩阵，你必须在基础 {A, B , CxD}，然后将其左乘以 M。以同样的方式执行此操作。事实上，N 是从您的正常基础转换为 {A, B, ..} 的矩阵，上面的 M 将其转换为 {C, D...}，然后 MN （此处为左乘）将从您的基础转换为到 {C, D, ..} 并提供您想要的旋转。

所以现在，所有向量都以基础 {C, D, ..} 表示:(

解决方案是另一个变换矩阵。这个矩阵从 {A, B, ..} 映射到您的主要基础并撤消 N，也称为逆矩阵，表示为 N^-1 ，所以你的最终矩阵是 (N^-1)MN ，好消息是因为 N 是正交的，所以你只需要它的转置即可

。你最常处理的矩阵很漂亮。

Answer 2

https://alleg.svn.sourceforge。 net/svnroot/alleg/allegro_outdated/branches/allegro/src/math3d.c

几乎完整的 3d 图形代码....查看底部的函数，从 .. 开始

get_align_matrix_f

，对于 quaterian 也是如此...

https://alleg.svn.sourceforge。 net/svnroot/alleg/allegro_outdated/branches/allegro/src/quat.c

也在矩阵中，它可能不会给你从向量 A 到 C 的最短（或直接）路径，所以如果你正在制作动画视觉效果上，最好使用quats。

Answer 3

考虑到航天器的成本高达数亿美元，您可能希望找到可以在睡梦中完成此类事情的人，并要求他们使用代码生成防弹且优化的解决方案，而不是依赖此处的描述。 （除非这只是一个练习。）

此外，您选择的解决方案应该在很大程度上取决于航天器上可用的推进器；你希望旋转使用尽可能少的燃料，这将取决于它们对航天器的本质作用。我假设您已将问题设置为使一个旋转轴围绕 z 轴；你可以独立地绕 x 和 y 旋转，还是只有一个其他轴？某些旋转是否比其他旋转更昂贵（例如，由于沿某些轴的惯性矩不同）？

考虑到这些警告，我非常犹豫是否给出这样的建议：找到（A x C），将 A 移动到 C 上并旋转所需的旋转轴（有关沿轴旋转的信息，请参阅维基百科）。然后找出它对 B 的影响（通过将旋转矩阵乘以 B）并计算 B 和 D 之间的角度；最后，沿 (B x D) 轴旋转（此时最好与 C 轴相同）以修复该差异（给出另一个旋转矩阵）。将两个矩阵相乘，瞧，你就完成了。

Answer 4

在原始帖子之后我知道，但如果您也遇到列/行主要和左/右手混淆问题，如果您想将 Mark T 的出色结果编码到 WPF 中，您可以这样做：

static public Matrix3D TwistToNewAxes(Vector3D A, Vector3D B, Vector3D D, Vector3D E)
    {
        Vector3D C = Vector3D.CrossProduct(B, A);
        Vector3D F = Vector3D.CrossProduct(E, D);

        Matrix3D result = Matrix3D.Identity;

        result.M11 = D.X * A.X + E.X * B.X + F.X * C.X;
        result.M21 = D.X * A.Y + E.X * B.Y + F.X * C.Y;
        result.M31 = D.X * A.Z + E.X * B.Z + F.X * C.Z;
        result.M12 = D.Y * A.X + E.Y * B.X + F.Y * C.X;
        result.M22 = D.Y * A.Y + E.Y * B.Y + F.Y * C.Y;
        result.M32 = D.Y * A.Z + E.Y * B.Z + F.Y * C.Z;
        result.M13 = D.Z * A.X + E.Z * B.X + F.Z * C.X;
        result.M23 = D.Z * A.Y + E.Z * B.Y + F.Z * C.Y;
        result.M33 = D.Z * A.Z + E.Z * B.Z + F.Z * C.Z;

        return result;


    }

非常感谢 Mark！