球坐标转换的疑惑

Question

我正在尝试将球面坐标（即 GPS 设备的纬度和经度）转换为笛卡尔坐标。我正在关注这个简单的转换极坐标转换方程。

然后我应用欧几里德距离计算两点之间的距离，但我找到的值并不总是与我可以使用 半正矢公式。特别是，我注意到，给定不同的经度但相同的纬度会导致两种算法计算出相同的距离，而具有相同的经度并更改纬度会带来不同的值。

这是我正在使用的 C 代码：

double ComputeDistance(double lat1,double lon1, double lat2, double lon2)
{
    
    double dlon, dlat, a, c;
    dlon = lon2- lon1;
    dlat = lat2 - lat1;
    a = pow(sin(dlat/2),2) + cos(lat1) * cos(lat2) * pow(sin(dlon/2),2);
    c = 2 * atan2(sqrt(a), sqrt(1-a));
    return 6378140 * c;  /* 6378140 is the radius of the Earth in meters*/

    
}
int main (int argc, const char * argv[]) {

    double lat1 = 41.788251028649575;
    double lat2 = 41.788251028649575;
    double long1 = -118.1457209154;
    double long2 = -118.1407209154;//just ~10 meters distant
    
    lat1 = DEGREES_TO_RADIANS(lat1);
    lat2 = DEGREES_TO_RADIANS(lat2);
    long1 = DEGREES_TO_RADIANS(long1);
    long2 = DEGREES_TO_RADIANS(long2);
    
    //transform in cartesian coordinates
    double x = 6378140 * cos(lat1) * cos(long1);
    double y = 6378140 * cos(lat1) * sin(long1);
    
    double x2 = 6378140 * cos(lat2) * cos(long2);
    double y2 = 6378140 * cos(lat2) * sin(long2);

    
    double dist = sqrt(pow(x2 - x, 2) + pow(y2 - y, 2));
    printf("DIST %lf\n", dist);
    printf("NDIST %lf\n", ComputeDistance(lat1, long1, lat2, long2));

    return 0;
}

我是否做错了什么，或者背后有一些我没有看到的数学（也许可以在 Mathoverflow 板上问这个？）。 更新没有必要跨越木板，因为有人正确指出这种转换对于计算两点之间的精确距离没有意义（两极之间的距离为零）。所以我将其重新表述为：为什么在小纬度增量（0.0001 对应于或多或少 10 米）处，距离似乎与半正弦公式 (20-25%) 如此不同？

更新2： 正如 Oli Charlesworth 指出的那样，不考虑 z 轴使得这种转换成为一种不介意南北差异的投影。这也是我指出的增量差异的原因。事实上，在正确的变换中，z 与纬度相关，如果你考虑它，然后计算两点之间的欧几里德距离（现在在 3d 空间中），纬度和经度都会产生良好的近似值对于小三角洲。 例如，对于纬度，误差约为 1.41 米。

Answer 1

从这个来看，没有保留距离的二维地图投影。计算点的二维投影的距离是没有用的。