结果概率算法

Question

我有一个概率问题，我需要在合理的时间内模拟它。简单来说，我有 30 个不公平的硬币，每个硬币都有不同的已知概率。然后我想问诸如“恰好 12 个正面朝上的概率是多少？”或“至少 5 个正面朝上的概率是多少？”。

我了解基本的概率论，所以我知道我可以枚举所有（30 个选择 x）的可能性，但这并不是特别可扩展。最坏的情况（30选15）有超过1.5亿种组合。从计算的角度来看，是否有更好的方法来解决这个问题？

非常感谢任何帮助，谢谢！ :-)

Answer 1

您可以使用动态规划方法。

例如，要计算 30 个硬币中有 12 个正面朝上的概率，令 P(n, k) 为前 n 个硬币中有 k 个正面朝上的概率。

那么 P(n, k) = p_n * P(n - 1, k - 1) + (1 - p_n) * P(n - 1, k)

（这里 p_i 是第 i 个硬币正面朝上的概率）。

您现在可以在动态规划算法中使用此关系。有一个包含 13 个概率的向量（表示 0..12 中 i 的 P(n - 1, i)）。使用上述递推关系为 P(n, i) 构建一个新的 13 向量。重复直到 n = 30。当然，您从 n=0 的向量 (1, 0, 0, 0, ...) 开始（因为没有硬币，您肯定不会得到正面）。

使用此算法的最坏情况是 O(n^2) 而不是指数。

Answer 2

这实际上是一个有趣的问题。我受到启发写了一篇关于它的博客文章，详细介绍了公平与不公平的硬币抛掷，一直到OP的情况，即每种硬币具有不同的概率。您需要一种称为动态规划的技术来在多项式时间内解决这个问题。

一般问题：给定C，一系列n个硬币p_{1 >} 到 p_n，其中 p_{i< /sub> 表示第 i 个硬币正面朝上的概率，抛掷所有硬币后出现 k 个正面朝上的概率是多少？}

这意味着求解以下递推关系：

P(n,k,C,i) = p_i x P(n-1,k-1,C,i+1) + (1-p_i) x P(n,k,C,i+1)

执行此操作的 Java 代码片段如下：

private static void runDynamic() {
  long start = System.nanoTime();
  double[] probs = dynamic(0.2, 0.3, 0.4);
  long end = System.nanoTime();
  int total = 0;
  for (int i = 0; i < probs.length; i++) {
    System.out.printf("%d : %,.4f%n", i, probs[i]);
  }
  System.out.printf("%nDynamic ran for %d coinsin %,.3f ms%n%n",
      coins.length, (end - start) / 1000000d);
}

private static double[] dynamic(double... coins) {
  double[][] table = new double[coins.length + 2][];
  for (int i = 0; i < table.length; i++) {
    table[i] = new double[coins.length + 1];
  }
  table[1][coins.length] = 1.0d; // everything else is 0.0
  for (int i = 0; i <= coins.length; i++) {
    for (int j = coins.length - 1; j >= 0; j--) {
      table[i + 1][j] = coins[j] * table[i][j + 1] +
          (1 - coins[j]) * table[i + 1][j + 1];
    }
  }
  double[] ret = new double[coins.length + 1];
  for (int i = 0; i < ret.length; i++) {
    ret[i] = table[i + 1][0];
  }
  return ret;
}

这是构建一个表，显示从 p_i 到 p_i 的硬币序列的概率em>p_n 包含 k 个头。

有关二项式概率的更深入介绍以及如何应用动态规划的讨论，请查看 抛硬币、二项式和动态规划。

Answer 3

伪代码：

    procedure PROB(n,k,p)
/*
    input: n - number of coins flipped
           k - number of heads
           p - list of probabilities  for n-coins where p[i] is probability coin i will be heads
    output: probability k-heads in n-flips
    assumptions: 1 <= i <= n, i in [0,1], 0 <= k <= n, additions and multiplications of [0,1] numbers O(1)
*/

A = ()() //matrix
A[0][0] = 1 // probability no heads given no coins flipped = 100%

for i = 0  to  k                                                              //O(k)
    if  i != 0  then  A[i][i] = A[i-1][i-1] * p[i]
    for j = i + 1  to  n - k + i                                              //O( n - k + 1 - (i + 1)) = O(n - k) = O(n)
        if i != 0 then  A[i][j] = p[j] * A[i-1][j-1] + (1-p[j]) * A[i][j-1]
        otherwise       A[i][j] = (1 - p[j]) * A[i][j-1]
return A[k][n] //probability k-heads given n-flips

最坏情况 = O(kn)