在 Mathematica 中将点从 4d 空间投影到 3d 空间

Question

假设我们有一组点，其限制是每个点的所有坐标都是非负的，并且坐标之和等于 1。这限制点位于 3 维单纯形中，因此尝试映射是有意义的它回到 3 维空间以进行可视化。

我正在寻找的地图将采用极值点 (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) 和 (0,0,0,1)到“位置良好”的正四面体的顶点。特别地，四面体的中心位于原点，一个顶点位于 z 轴上，一个面平行于 x,y 平面，一条边平行于 x 轴。

下面的代码对 3 维中的点执行类似的操作，但如何将其扩展到 4 似乎并不明显。基本上，我正在寻找 4 维函数 tosimplex 的等效项（它将 4 维变成 3 维），并且它是逆的fromsimplex

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@ 
    Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // Transpose;
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_}] := Most[A.{x, y, z}];
fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]};

(* checks *)
extreme = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
Graphics[Polygon[tosimplex /@ extreme]]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

答案：

用矩阵直接重新表述 deinst 的答案给出以下结果。 （1/sqrt[4] 出现为第四个坐标，因为它是到单纯形中心的距离）

A = Transpose[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}];
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := Most[A.{x, y, z, w}];
fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]};

(* Checks *)
extreme = Table[Array[Boole[# == i] &, 4], {i, 1, 4}];
Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@ extreme]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

Answer 1

你想要

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

这是一个线性变换，所以你变换

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

编辑 你想要中心在原点 - 只需减去四个点的平均值。对不起

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)

Answer 2

一种可能性：

1. 生成四个（非正交）3 向量，从四面体中心到每个顶点的 \vec{v}_i。
2. 对于每四个位置 x = (x_1 .. x_4) 形成向量和 \Sum_i x_i*\vec{v}_i。

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当然，这种映射一般来说并不是唯一的，但您的条件是 x_i 的总和为 1，这会限制一些事情。