计算正多边形顶点的坐标

Question

我正在编写一个程序，其中我需要绘制任意边数的多边形，每个边都由动态变化的给定公式进行转换。其中涉及一些相当有趣的数学，但我陷入了这个问题。

如何计算正多边形（其中所有角度都相等）的顶点坐标，仅给出边数，并且理想情况下（但不一定）原点位于中心？

例如：六边形可能有以下点（都是浮点数）：

( 1.5  ,  0.5 *Math.Sqrt(3) )
( 0    ,  1   *Math.Sqrt(3) )
(-1.5  ,  0.5 *Math.Sqrt(3) )
(-1.5  , -0.5 *Math.Sqrt(3) )
( 0    , -1   *Math.Sqrt(3) )
( 1.5  , -0.5 *Math.Sqrt(3) )

我的方法如下所示：

void InitPolygonVertexCoords(RegularPolygon poly)

需要将坐标添加到此（或类似的东西，如列表）：

Point[] _polygonVertexPoints;

I我主要对这里的算法感兴趣，但 C# 中的示例会很有用。我什至不知道从哪里开始。 我应该如何实施？这可能吗？！

谢谢。

Answer 1

for (i = 0; i < n; i++) {
  printf("%f %f\n",r * Math.cos(2 * Math.PI * i / n), r * Math.sin(2 * Math.PI * i / n));
}

其中 r 是外接圆的半径。抱歉，使用了错误的语言，没有 Habla C#。

基本上，任意两个顶点之间的角度为 2 pi / n，并且所有顶点与原点的距离为 r。

编辑：
如果你想让中心位于原点以外的某个地方，请说在(x,y)

for (i = 0; i < n; i++) {
  printf("%f %f\n",x + r * Math.cos(2 * Math.PI * i / n), y + r * Math.sin(2 * Math.PI * i / n));
}

Answer 2

点的数量等于边的数量。

您需要的角度是angle = 2 * pi / numPoints。

然后从原点上方垂直开始，多边形的大小由半径给出：

for (int i = 0; i < numPoints; i++)
{
    x = centreX + radius * sin(i * angle);
    y = centreY + radius * cos(i * angle);
}

如果您的中心是原点，则只需忽略centreX和centreY > 项为 0,0。

交换 cos 和 sin 将使第一个点水平指向原点右侧。

Answer 3

抱歉，我现在手头没有完整的解决方案，但您应该尝试寻找圆的 2D 渲染。 Circle(x,y,r) 的所有经典实现都使用与您描述的绘图类似的多边形（但具有 50 多个边）。

Answer 4

假设顶点到原点的距离为 1。并且 (1, 0) 始终是多边形的坐标。

给定顶点数（比如 n），将 (1, 0) 定位到下一个坐标所需的旋转角度将为 (360/n)。

这里需要的计算是旋转坐标。这就是它的本质； 旋转矩阵。

假设 theta = 360/n；

[cos(theta) -sin(theta)]
[sin(theta) cos(theta)]

将是你的旋转矩阵。

如果您了解线性代数，您就已经知道我的意思了。如果不看看矩阵乘法

Answer 5

为正多边形生成一组坐标的一种可能的实现是：

定义多边形中心、半径和第一个顶点¹。
将顶点旋转n次² 角度为：360/n。

在此实现中，我使用向量来存储生成的坐标，并使用递归函数来生成它们：

void generateRegularPolygon(vector<Point>& v, Point& center, int sidesNumber, int radius){
    // converted to radians
    double angRads = 2 * PI / double(sidesNumber);
    // first vertex  
    Point initial(center.x, center.y - radius);
    rotateCoordinate(v, center, initial, angRads, sidesNumber);
}

其中：

void rotateCoordinate(vector<Point>& v, Point& axisOfRotation, Point& initial, double angRads, int numberOfRotations){
    // base case: number of transformations < 0
    if(numberOfRotations <= 0) return;
    else{
        // apply rotation to: initial, around pivot point: axisOfRotation
        double x = cos(angRads) * (initial.x - axisOfRotation.x) - sin(angRads) * (initial.y - axisOfRotation.y) + axisOfRotation.x;
        double y = sin(angRads) * (initial.x - axisOfRotation.x) + cos(angRads) * (initial.y - axisOfRotation.y) + axisOfRotation.y;
        // store the result
        v.push_back(Point(x, y));
        rotateCoordinate(v, axisOfRotation, Point(x,y), angRads, --numberOfRotations);
    }
}

注意：

Point 是一个简单的类，用于将坐标包装到单个数据结构中：

class Point{
public:
    Point(): x(0), y(0){ }
    Point(int xx, int yy): x(xx), y(yy) { }
private:
    int x;
    int y; 
}; 

---

^{1 就（相对于）中心，半径。在我的例子中，第一个顶点从中心向上水平平移半径长度。}

^{2 n 正多边形有 n 个顶点。}

Answer 6

简单的方法是：
让我们取 N-gone（边数）和边长 L。角度将为 T = 360/N。
假设一个顶点位于原点。

* First vertex = (0,0)
* Second vertex = (LcosT,LsinT)
* Third vertex = (LcosT+Lcos2T, LsinT+Lsin2T)
* Fourth vertex = (LcosT+Lcos2T+Lcos3T, LsinT+Lsin2T+Lsin3T)

你可以在for循环中做

Answer 7

嗯，如果您测试此处列出的所有版本，您会发现实现并不好。您可以使用以下命令检查从中心到多边形每个生成点的距离： http: //www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html

现在我已经搜索了很多，但找不到任何好的实现来使用中心和半径计算多边形......所以我回到数学书上并尝试自己实现它。最后我想出了这个……这是 100% 好的：

            List<double[]> coordinates = new List<double[]>();
            #region create Polygon Coordinates
            if (!string.IsNullOrWhiteSpace(bus.Latitude) && !string.IsNullOrWhiteSpace(bus.Longitude) && !string.IsNullOrWhiteSpace(bus.ListingRadius))
            {
                double lat = DegreeToRadian(Double.Parse(bus.Latitude));
                double lon = DegreeToRadian(Double.Parse(bus.Longitude));
                double dist = Double.Parse(bus.ListingRadius);
                double angle = 36;

                for (double i = 0; i <= 360; i += angle)
                {
                    var bearing = DegreeToRadian(i);

                    var lat2 = Math.Asin(Math.Sin(lat) * Math.Cos(dist / earthRadius) + Math.Cos(lat) * Math.Sin(dist / earthRadius) * Math.Cos(bearing));
                    var lon2 = lon + Math.Atan2(Math.Sin(bearing) * Math.Sin(dist / earthRadius) * Math.Cos(lat),Math.Cos(dist / earthRadius) - Math.Sin(lat) * Math.Sin(lat2));

                    coordinates.Add(new double[] { RadianToDegree(lat2), RadianToDegree(lon2) });

                }

                poly.Coordinates = new[] { coordinates.ToArray() };
            }
            #endregion

如果你测试这个，你会发现所有点都在你给出的精确距离（半径）处。另外不要忘记声明 EarthRadius。

private const double earthRadius = 6371.01;

这将计算十边形的坐标。你看使用的角度是36度。您可以将 360 度分割为任意数量的边，并将结果放入角度变量中。
无论如何..我希望这对你有帮助@rmx！