显示 (head . init ) = Agda 中的 head

Question

我试图证明 Agda 中的一个简单引理，我认为这是正确的。

如果向量具有两个以上元素，则在获取 init 后获取其 head 与立即获取其 head 相同。< /p>

我将其表述如下：

lem-headInit : ∀{l} (xs : Vec ℕ (suc (suc l)))
                    -> head (init xs) ≡ head xs
lem-headInit (x ∷ xs) = ?

这给了我；

.l : ℕ
x  : ℕ
xs : Vec ℕ (suc .l)
------------------------------
Goal: head (init (x ∷ xs) | (initLast (x ∷ xs) | initLast xs)) ≡ x

作为回应。

我不完全理解如何读取 (init (x ∷ xs) | (initLast (x ∷ xs) | initLast xs)) 组件。我想我的问题是；是否可能，如何以及该术语的含义是什么。

非常感谢。

Answer 1

我不完全明白如何
读取 (init (x ∷ xs) | (initLast (x
∷ xs) | initLast xs)) 组件。我
假设我的问题是；是吗
可能，这个术语如何以及什么意思
意思是。

这告诉您，值 init (x ∷ xs) 取决于 | 右侧所有内容的值。当您在 Agda 中的函数中证明某些内容时，您的证明必须具有原始定义的结构。

在这种情况下，您必须对 initLast 的结果进行区分，因为 initLast 的定义会在生成任何结果之前执行此操作。

init : ∀ {a n} {A : Set a} → Vec A (1 + n) → Vec A n
init xs         with initLast xs
                --  ⇧  The first thing this definition does is case on this value
init .(ys ∷ʳ y) | (ys , y , refl) = ys

这就是我们如何编写引理。

module inithead where

open import Data.Nat
open import Data.Product
open import Data.Vec
open import Relation.Binary.PropositionalEquality

lem-headInit : {A : Set} {n : ℕ} (xs : Vec A (2 + n))
             → head (init xs) ≡ head xs

lem-headInit (x ∷ xs) with initLast xs
lem-headInit (x ∷ .(ys ∷ʳ y)) | ys , y , refl = refl

我冒昧地将你的引理推广到 Vec A ，因为引理不依赖于向量的内容。

Answer 2

好的。我通过作弊得到了这个，我希望有人有更好的解决方案。我抛弃了从 init 中获得的所有额外信息，这些信息是根据 initLast 定义的，并创建了我自己的简单版本。

initLazy : ∀{A l} → Vec A (suc l) → Vec A l
initLazy (x ∷ []) = []
initLazy (x ∷ (y ∷ ys)) = x ∷ (initLazy (y ∷ ys))

现在引理是微不足道的。

还有其他优惠吗？