帮助理解这些方程？

Question

我问了一个关于双线性变换的问题并收到了这个答案：

从您发布的那个页面上，有一个指向源的链接 代码。 中解释双线性变换

我将在http://www.antigrain.com/ __code/include/agg_trans_bilinear.h.html

这里的想法是找到形式的变换：

output_x = a * input_x + b * input_x * input_y + c * input_y + d
output_y = e * input_x + f * input_x * input_y + g * input_y + h

术语“双线性”来自于每个线性方程 任一输入坐标本身。我们想要解决 a、b、c 和 d 的正确值。说你有参考资料 要映射到 (0,0), (1,0), (0,1) 的矩形 r1, r2, r3, r4, (1,1)（或某些图像坐标系）。

对于 a、b、c、d：

0 = a * r1_x + b * r1_x * r1_y + c * r1_y + d
1 = a * r2_x + b * r2_x * r2_y + c * r2_y + d
0 = a * r3_x + b * r3_x * r3_y + c * r3_y + d
1 = a * r4_x + b * r4_x * r4_y + c * r4_y + d

对于 e、f、g、h：

0 = e * r1_x + f * r1_x * r1_y + g * r1_y + h
0 = e * r2_x + f * r2_x * r2_y + g * r2_y + h
1 = e * r3_x + f * r3_x * r3_y + g * r3_y + h
1 = e * r4_x + f * r4_x * r4_y + g * r4_y + h

您可以按照您最喜欢的方式解决此问题。 （如果您熟悉 矩阵表示法，这是两个矩阵方程，其中矩阵 是一样的，然后只需要求LU分解即可 一次，并求解两个未知向量）。那么系数是 用于将矩形的内部映射到 长方形。

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问题是，我有 input_x 和 input_y 以及 r1、r2、r3、r4，但我不确定如何实现 output_x 和 output_y。我该如何解这样的方程？我只熟悉解两个变量的方程。

谢谢

Answer 1

你发现的这个解释太糟糕了。希望我能帮助您了解引擎盖下发生的事情。

您想要做的是将一个矩形区域（一个四边形）映射到另一个（任意形状）四边形。让我们从一个更简单的情况开始：线性插值（查找沿线的值）

如果有一条从 a 到 b 的线，那么您可以使用以下方法找到该线上的任何点“c”方程：

c = ((1 - p) * a) + (p * b);

该方程沿着两个位置之间的直线（线性）“混合”（插值）两个位置的值。如果使用 p=0，则方程变为，

c = (1 * a) + (0 * b)   = a

因此在 p=0 时，方程给出点“a”。

当 p=1 时，方程变为：

c = (0 * a) + (1 * b)   = b

因此，当 p=1 时，方程给出点“b”。

在 p 的中间值处，您可以在 a 和 b 之间的直线上获得点。 （因此，在 p=0.5 时，您得到的点正好位于 a 和 b 之间的中间位置）

因此，要将像素从屏幕上的一行复制到屏幕上的另一行，我们可以使用线性插值来查找行上的位置读取和写入。

for (float p = 0.0; p <= 1.0; p += 0.1)    // copy 10 pixels from line 1 to line 2
    DrawPixelOnLine2(p, GetPixelFromLine1(p));

这两种方法只使用线性插值来计算读取和绘制像素的正确位置，如下所示：（

int ax = 0, ay = 100, bx = 50, by = 170;   // line a-b goes from (0,100) to (50,170)

int px = ((1-p) * ax) + (p * bx);          // calc the x and y values separately
int py = ((1-p) * ay) + (p * by);

请注意，我必须使用计算两次才能完成 2D 位置。我可以通过简单地添加相同的计算来在 3D 中进行插值再次表示 az/bz/pz 坐标）

因此，现在您可以将点从一条任意直线复制到另一条直线。

双线性插值完全相同，只是我们想要在矩形内而不是直线内找到点，因此我们需要两个维度来描述该点在矩形中的位置（沿着矩形的 px）矩形的底部，然后向上绘制矩形的侧面）。现在您可以使用 (px,py) 坐标对定位矩形中的任意点。

为了进行上述映射，我们只需在二维上进行线性插值计算：首先，我们沿着底部和顶部进行插值，找到垂直穿过矩形中间的直线的两个端点。然后我们沿着这条垂直线进行插值以找到矩形中间的最终点。

“矩形”不一定是矩形。两个尺寸可用于任何 4 边形状（即，您可以将矩形的角移动到任何您喜欢的位置，方程仍会找到角之间的位置以填充形状所包围的区域）

在示例中，您发现，作者使用四个点来描述源形状（a，b，c，d），另外四个点来描述目标形状（e，f，g，h）

此外，他们还进行了更多计算通过求解方程来填充变换矩阵，可以将其与点相乘以进行映射过程，从而提高效率。不过，效果和我上面描述的一样。希望我的解释能让您更容易“了解”方程的作用。

Answer 2

如果要将一个矩形映射到另一个矩形，则需要简单的线性变换。要将点 r 映射到点 q，您有：

qx = arx + bry + c
qy = drx + ery + f

有 6 个变量，您需要 6 个方程（3 分）。要将矩形 r 映射到矩形 q：

q1x = a*r1x + b*r1y + c
q1y = d*r1x + e*r1y + f
q2x = a*r2x + b*r2y + c
q2y = d*r2x + e*r2y + f
q3x = a*r3x + b*r3y + c
q3y = d*r3x + e*r3y + f

根据上面的内容，您必须求解 2 个由 3 个线性方程组组成的系统，每个方程组有 3 个变量。只要点不同且不共线，它们将恰好有 1 个解（在矩形角的情况下满足此要求）。