求解三次方程以找到曲线上距某点最近的点

Question

好的，

我有一个射弹，其位置定义如下：

a.x = initialX + initialDX * time;

a.y = initialY + initialDY * time + 0.5 * gravtiy * time^2;

我希望能够预测该射弹将与我的环境中的哪些障碍物发生碰撞。我计划检查曲线上最近的点 A 到点 P 的距离。

我认为在点A处，曲线的切线将垂直于向量AP，并且在A处与曲线的切线只是该点射弹的速度V。

AP点V = 0

ap.x = initialX + initialDX * time - p.x;

ap.y = initialY + initialDY * time + gravity * time^2 - p.y;

v.x = initialDX;

v.y = initialDY + gravity * time;

=>

AP 点V =

( 0.5 * gravity^2 ) * t^3 +

( 1.5 * gravity * initialDY  ) * t^2 +

( initialDX^2 + initialDY^2 + gravity * ( initialY - p.y ) ) * t +

( initialDX * ( initialX - p.x ) + initialDY * ( initialY - p.y ) )

从这里我可以看到这是一个三次函数。我花了一些时间在网上研究，发现有一个通用方程似乎适用于某些值来寻找根。

这是我试图实施的过程。 http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac11/fac11。 当我将 x插

a = 0.5 * gravity^2;

b = 1.5 * gravity * initialDY;

c = initialDX^2 + initialDY^2 + gravity * ( initialY - p.y );

d = initialDX * ( initialX - p.x ) + initialDY * ( initialY - p.y );

A = ( c - ( b * b ) / ( 3 * a ) ) / a;

B = -( d + ( 2 * b * b * b ) / ( 27 * a * a ) - ( b * c ) / ( 3 * a ) ) / a;

workingC = -Math.pow( A, 3 ) / 27;

u = ( -B + Math.sqrt( B * B - 4 * workingC ) ) / 2; // Quadratic formula

s = Math.pow( u + B, 1 / 3 );

t = Math.pow( u, 1 / 3 );

y = s - t;

x = y - b / ( 3 * a );

回到时间曲线的原始方程中时，这应该给我 A。这似乎对于某些值来说效果很好，但是当 py 高于某个值时，我没有正数可以在二次方程中取平方根。

我对数学没有足够的了解，无法理解为什么会发生这种情况，或者我可以采取什么措施来解决这个问题。

对此的任何帮助将不胜感激。

更新：

我已经调整了我的算法来处理复杂的根，但是我仍然遇到麻烦。 如果判别式为负，这就是我现在所做的：

a = 0.5 * gravity^2;

b = 1.5 * gravity * initialDY;

c = initialDX^2 + initialDY^2 + gravity * ( initialY - p.y );

d = initialDX * ( initialX - p.x ) + initialDY * ( initialY - p.y );

A = ( c - ( b * b ) / ( 3 * a ) ) / a;

B = -( d + ( 2 * b * b * b ) / ( 27 * a * a ) - ( b * c ) / ( 3 * a ) ) / a;

workingC = -Math.pow( A, 3 ) / 27;

discriminant = B * B - 4 * workingC;

then if discriminant < 0;

uc = new ComplexNumber( -B / 2, Math.sqrt( -discriminant ) / 2 ); 

tc = uc.cubeRoot( ); 

uc.a += B;

sc = uc.cubeRoot( ); 

yc = sc - tc; 

yc.a -= b / ( 3 * a ); 

x = -d / ( yc.a * yc.a + yc.b * yc.b ); 

由于某种原因，这仍然没有给我预期的结果。这里有什么明显错误的地方吗？

Answer 1

实多项式可以有复数根，如果根不是实数，它们会以共轭对的形式出现。

这意味着三次方始终至少有一个实根。

现在，如果您使用您的方法获得复数根，您可以尝试获得共轭，乘除三次常数，取倒数以获得实根。

因此，如果您必须取 -ve 数的平方根，那么它与将其模数的平方根乘以虚数“i”相同。

因此，如果将根表示为 (m,n)，表示复数 m + in。那么另一个根是 m - in = (m, -n) 并且 m 和 n 是实数。

三次方可写为 P(x) = (x^2 - 2m + (m^2 + n^2))(xr)。

因此，如果 P(x) = x^3 - a_1 *x^2 + a_2*x - a_3，则我们有 r = a_3/(m^2 + n^2) （a_3 是根的乘积，其中是 r(m^2+n^2))

获得 r 的更简单方法是使用公式 r = a_1 - 2m（a_1 是根之和，即 r+2m）。

查看：http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number