优化 Mathematica 中的内循环计算

Question

我目前正在 Mathematica 中进行一些与量子力学相关的计算。随着我们从一维晶格模型转向二维晶格模型，问题大小变得有问题。

目前，我们有一个如下所示的求和：

corr[r1_, r2_, i_, j_] = Sum[Cos[f[x1, x2] Angle[i] r1 + f[y1, y2] Angle[j] r2], {x1, HL}, {x2, HL}, {y1, HL + 1, 2 HL}, {y2, HL + 1, 2 HL}];

f[. , .] 是预先计算的相关函数的查找函数，Angle[.] 也是预先计算的。

根本没有办法以任何方式进一步简化这个过程。我们已经通过将复指数（虚部为零）转换为上面的余弦表达式进行了简单的优化。

最大的问题是这些 HL 基于尺寸大小：对于沿轴的线性尺寸 L，HL 对应于 L^d（此处 d = 2）。所以我们的计算实际上是 O(n^8)，忽略 i, j 的总和。

对于 L = 8，这通常不会太糟糕，如果不是因为我们对 125 个 r1 值和 125 个 r2 值进行迭代以创建 125 x 125 图像。

我的问题是：如何在 Mathematica 中最有效地计算它？我会用另一种语言来做这件事，但如果我用 C++ 之类的语言尝试的话，有些问题会让它变得同样慢。

额外信息：这是 ND-ND（数密度）相关性计算。所有 x 和 y 均指离散 2D 网格上的离散点。这里唯一的非离散的东西是我们的 r 。

Answer 1

似乎用余弦变换交换傅里叶变换是错误的优化时间，因为它隐藏了这样一个事实：该相关性计算实际上只是两个傅里叶变换的乘积（这是我所知道的计算相关性的唯一有效方法） .
使用 ir1=Angle[i] r1 和 ir2=Angle[j] r2 你的表达式相当于

Sum[Cos[f[x1, x2] ir1 + f[y1, y2] ir2], {x1, HL}, {x2, HL}, {y1, HL+1, 2 HL}, {y2, HL+1, 2 HL}]
== Re@Sum[Exp[I f[x1, x2] ir1] Exp[I f[y1, y2] ir2], {x1, HL}, {x2, HL},{y1, HL+1, 2 HL}, {y2, HL+1, 2 HL}]
== Re[corr1[ir1] corr2[ir2]]

我

corr1[ir_]:=Sum[Exp[I f[x1, x2] ir], {x1, HL}, {x2, HL}];
corr2[ir_]:=Sum[Exp[I f[y1, y2] ir], {y1, HL+1, 2 HL}, {y2, HL+1, 2 HL}];

已经将你的缩放指数减半，我希望你很高兴:)，但如果 f 是实值，您可以削减另一个指数的两倍：
在这种情况下，我们可以将 corr1 表示为 f 值的积分 - 假设您可以以某种方式获得权重函数 w 。如果没有别的事，您可以通过简单的分箱过程以数字方式完成此操作。

corr1v2[ir_]:=Sum[ w[fval] Exp[I fval ir], {fval,fvals}],

这清楚地表明，corr1实际上只是f的权重函数的傅立叶变换（因此您应该使用FFT而不是上面的总和来计算它）。 corr2 也是如此。
或者，如果 f 不是实值，但具有足够的对称性，允许您以某种形式重新参数化，因此 f 仅取决于新参数之一（例如，f >r,phi)，您还将把 corr1 积分减少到一维，尽管它可能不是简单的傅里叶变换。