将二次贝塞尔曲线转换为三次贝塞尔曲线

Question

将二次贝塞尔曲线（有 3 个点）转换为三次贝塞尔曲线（有 4 个点）的算法是什么？

Answer 1

来自 https://fontforge.org/docs/techref/bezier。 html#converting-truetype-to-postscript：

任何二次样条都可以表示为三次样条（其中三次项为零）。三次方程的端点与二次方程的端点相同。

CP₀ = QP₀
CP₃ = QP₂

立方体的两个控制点是：

CP₁ = QP₀ + 2/3 *(QP₁-QP₀)
CP₂ = QP₂ + 2/3 *(QP₁-QP₂)

...由于舍入而引入了一个轻微的错误，但不太可能被注意到。

Answer 2

只是为已接受的答案提供证明。

二次贝塞尔曲线表示为：

Q(t) = Q₀ (1-t)² + 2 Q₁ (1-t) t + Q₂ t²

三次方贝塞尔曲线表示为：

C(t) = C₀ (1-t)³ + 3 C₁ (1-t)² t + 3 C_{2 (1-t) t² + C3 t³}

要使这两个多项式相等，它们的所有多项式系数必须相等。通过展开表达式（例如：(1-t)² = 1 - 2t + t²），然后对 1、t、t² 和 t³ 中的所有项进行因式分解来获得多项式系数：

Q(t) = Q₀ + (-2Q₀ + 2Q₁) t + (Q₀子> - 2Q₁ + Q₂) t²

C(t) = C₀ + (-3C₀ + 3C₁) t + (3C₀子> - 6C<子>1 + 3C<子>2) t² + (-C<子>0 + 3C<子>1 -3C<子>2 + C₃) t³

因此，我们得到以下4个方程：

C₀ = Q₀

-3C₀ + 3C₁ = -2Q₀ + 2Q₁

3C₀ - 6C₁ + 3C₂ = Q₀ - 2Q_{1 + Q<子>2}

-C₀ + 3C₁ -3C₂ + C₃ = 0

我们可以通过简单地将第二行中的 C₀ 替换为 Q₀ 来求解 C₁ ，这给出：

C₁ = Q₀ + (2/3) (Q₁ - Q₀)< /p>

那么，我们可以要么继续替代求解 C₂，然后求解 C₃，或者更优雅地注意到变量 t' = 1- 变化下原始方程的对称性t，并得出结论：

C₀ = Q₀

C₁ = Q₀ + (2/3) (Q₁ - Q₀)< /p>

C₂ = Q₂ + (2/3) (Q₁ - Q₂)< /p>

C₃ = Q₂

Answer 3

作为参考，我基于 上面 Owen 的回答为 NSBezierPath (macOS Swift 4) 实现了 addQuadCurve。

extension NSBezierPath {
    public func addQuadCurve(to qp2: CGPoint, controlPoint qp1: CGPoint) {
        let qp0 = self.currentPoint
        self.curve(to: qp2,
            controlPoint1: qp0 + (2.0/3.0)*(qp1 - qp0),
            controlPoint2: qp2 + (2.0/3.0)*(qp1 - qp2))
    }
}

extension CGPoint {
    // Vector math
    public static func +(left: CGPoint, right: CGPoint) -> CGPoint {
        return CGPoint(x: left.x + right.x, y: left.y + right.y)
    }
    public static func -(left: CGPoint, right: CGPoint) -> CGPoint {
        return CGPoint(x: left.x - right.x, y: left.y - right.y)
    }
    public static func *(left: CGFloat, right: CGPoint) -> CGPoint {
        return CGPoint(x: left * right.x, y: left * right.y)
    }
}