当提供空列表时 itertools.product() 应该产生什么？

Question

我想这是一个学术问题，但第二个结果对我来说没有意义。难道它不应该像第一个一样完全是空的吗？这种行为的理由是什么？

from itertools import product

one_empty = [ [1,2], [] ]
all_empty = []

print [ t for t in product(*one_empty) ]  # []
print [ t for t in product(*all_empty) ]  # [()]

更新

感谢您的所有回答——内容非常丰富。

维基百科对零笛卡尔积的讨论提供了明确的声明：

无集合的笛卡尔积... 是包含以下内容的单例集 空元组。

这里有一些代码，您可以用来完成富有洞察力的 某处的回答：

from itertools import product

def tproduct(*xss):
    return ( sum(rs, ()) for rs in product(*xss) )

def tup(x):
    return (x,)

xs = [ [1, 2],     [3, 4, 5]       ]
ys = [ ['a', 'b'], ['c', 'd', 'e'] ]

txs = [ map(tup, x) for x in xs ]  # [[(1,), (2,)], [(3,), (4,), (5,)]]
tys = [ map(tup, y) for y in ys ]  # [[('a',), ('b',)], [('c',), ('d',), ('e',)]]

a = [ p for p in tproduct( *(txs + tys) )                   ]
b = [ p for p in tproduct( tproduct(*txs), tproduct(*tys) ) ]

assert a == b

Answer 1

从数学的角度来看，没有元素的乘积应该产生操作乘积的中性元素，无论它是什么。

例如，对于整数，乘法的中性元素是 1，因为对于所有整数 a，1 ⋅ a = a。因此整数的空乘积应该是1。当实现返回数字列表的乘积的 python 函数时，这种情况自然会发生：

def iproduct(lst):
  result = 1
  for i in lst:
    result *= i
  return result

为了使用此算法计算出正确的结果，需要使用 1result >。当在空列表上调用该函数时，这会导致返回值为 1。

这个返回值对于函数的目的来说也是非常合理的。有了良好的乘积函数，无论您首先连接两个列表然后构建元素的乘积，还是先构建两个单独列表的乘积然后将结果相乘，都没有关系：

iproduct(xs + ys) == iproduct(xs) * iproduct(ys)

If xs 或 ys 为空，仅在 iproduct([]) == 1 时有效。

现在迭代器上的 product() 更加复杂。同样，从数学的角度来看，product([]) 应该返回该操作的中性元素，无论它是什么。它不是 []，因为 product([], xs) == []，而对于中性元素 product([], xs) == xs 应该成立。但事实证明，[()] 也不是一个中性元素：

>>> list(product([()], [1,2,3]))
[((), 1), ((), 2), ((), 3)]

事实上，product() 根本不是一个非常好的数学乘积，因为上面的等式不成立：

product(*(xs + ys)) != product(product(*xs), product(*ys))

乘积的每个应用都会生成一个附加的元组层，并且没有办法解决这个问题，因此甚至不可能有真正的中性元素。 [()] 非常接近，它不会添加或删除任何元素，它只是向每个元素添加一个空元组。

[()]实际上是这个稍微修改过的乘积函数的中性元素，它仅对元组列表进行操作，但不会在每个应用程序上添加额外的元组层：

def tproduct(*xss):
  # the parameters have to be lists of tuples
  return (sum(rs, ()) for rs in product(*xss))

对于此函数，上述乘积等式成立：

def tup(x): return (x,)
txs = [map(tup, x) for x in xs]
tys = [map(tup, y) for y in ys]
tproduct(*(txs + tys)) == tproduct(tproduct(*txs), tproduct(*tys))

通过将输入列表打包到元组中的额外预处理步骤，tproduct() 给出与 product() 相同的结果，但从数学角度来看表现更好看法。而且它的中性元素是[()]，

所以[()]作为这种列表乘法的中性元素是有意义的。即使它不完全适合 product()，它也是该函数的一个不错的选择，因为它允许定义 tproduct() 而无需引入特殊的空输入的情况。

Answer 2

正如@sth 已经指出的那样，从数学角度来看，这种行为是正确的。您真正需要说服自己的是 list(itertools.product()) 应该只有一个元素，因为一旦您知道该元素应该是什么：它必须是（对于一致性）一个长度为 0 的元组，并且只有一个。

但是 itertools.product(l1, l2, l3, ...) 的元素数量应该只是 l1, l2< 长度的乘积/code>, l3, ... .因此 itertools.product() 的元素数量应该是 的大小空乘积，并且不乏互联网资源可以说服您空乘积是 1。

我只是想指出，这是正确的实用定义以及正确的定义数学一；也就是说，它是最有可能在边界情况下“起作用”的定义。例如，假设您要生成由十进制数字组成的长度为 n 的所有字符串，且第一位数字非零。您可能会这样做：

import itertools

def decimal_strings(n):
    """Generate all digit strings of length n that don't start with 0."""
    for lead_digit in '123456789':
        for tail in itertools.product('0123456789', repeat=n-1):
            yield lead_digit + ''.join(tail)

当n = 1时，这会产生什么结果？好吧，在这种情况下，您最终会使用空产品 (repeat = 0) 调用 itertools.product。如果它什么也没返回，那么上面的内部 for 循环体将永远不会被执行，因此 decimal_strings(1) 将是一个空迭代器；几乎肯定不是你想要的。但由于 itertools.product('0123456789', Repeat=0) 返回单个元组，因此您会得到预期的结果：（

>>> list(decimal_strings(1))
['1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9']

当 n = 0 时，当然，这个函数正确地引发一个 ValueError。）

所以简而言之，这个定义在数学上是合理的，但更常见的是，它并不是您想要的。这绝对不是Python bug！