计算有理指数的复数

Question

昨天我创建了这段可以计算 z^n 的代码，其中 z 是复数，n 是任何正整数。

--snip--
float real = 0;
float imag = 0;

// d is the power the number is raised to [(x + yi)^d]
for (int n = 0; n <= d; n++) {
  if (n == 0) {
    real += pow(a, d);
  } else { // binomial theorem      
    switch (n % 4) {
      case 1: // i
        imag += bCo(d, n) * pow(a, d - n) * pow(b, n);
        break;
      case 2: // -1
        real -= bCo(d, n) * pow(a, d - n) * pow(b, n);
        break;
      case 3: // -i
        imag -= bCo(d, n) * pow(a, d - n) * pow(b, n);
        break;
      case 0: // 1
        real += bCo(d, n) * pow(a, d - n) * pow(b, n);
        break;
    }
  }
}
--snip--

int factorial(int n) {
  int total = 1;
  for (int i = n; i > 1; i--) { total *= i; }
  return total;
}

// binomial cofactor
float bCo(int n, int k) {
  return (factorial(n)/(factorial(k) * factorial(n - k)));
}

我使用二项式定理来展开z^n，并根据虚数的幂知道是否将每一项视为实数或虚数。

我想要做的是能够计算 z^n，其中 n 是任何正实数（分数）。我知道二项式定理可用于非整数的幂，但我不太确定如何处理复数。因为 i^0.1 有实部和虚部，所以我不能将其分类为实部或虚部变量，我什至不知道如何编写可以计算它的程序。

有谁知道可以帮助我完成此任务的算法，或者甚至是处理复数的更好方法，从而使这成为可能？

哦，我用的是java。

谢谢。

Answer 1

首先，它可能有多种解决方案。请参阅维基百科：复数/求幂。

类似的考虑表明，我们可以像定义实数一样定义有理实幂，因此 z^1/n 是 n:th z 的根。根不是唯一的，因此很明显复杂的幂是多值的，因此需要仔细对待幂；例如 (8^1/3)⁴ ≠ 16，因为 8 有 3 个立方根，所以给定的表达式，通常缩写为 8^4/3 ，是最简单的。

我认为你应该将其分解为极坐标符号并从那里开始。

Answer 2

考虑一个复数 使得 。

因此， 的极坐标形式是 = ，其中：

• 是 或 和
• 是 。

完成此操作后，您可以使用 DeMoivre 定理 来计算 像这样：

或更简单地为

有关详细信息，请阅读 复数的极坐标形式。

Answer 3

我不太擅长数学，所以可能我对你的任务的理解是错误的。但据我所知 - apache commons math 可以帮助你： http://commons .apache.org/math/userguide/complex.html

示例：

Complex first  = new Complex(1.0, 3.0);
Complex second = new Complex(2.0, 5.0);

Complex answer = first.log();        // natural logarithm.
        answer = first.cos();        // cosine
        answer = first.pow(second);  // first raised to the power of second

Answer 4

当 n 不是整数并且 a 不是正数时，a^n 是错误定义的。

如果 z 是复数，您仍然可以赋予 z^a = exp(a log z) 含义，但您必须弄清楚当 z 不是正数时 log z 的含义。

并且没有唯一的选择。