Mathematica 与 PrimaryValue 集成中的错误 -> True

Question

看来 Mathematica 对主值积分的处理在某些极端情况下失败了。考虑这两个表达式（它们应该给出相同的结果）：

Integrate[UnitBox[x]/(x0 - x), {x, -Infinity, Infinity},
  PrincipalValue -> True, Assumptions -> {x0 > 0}] /. x0 -> 1 // Simplify
Integrate[UnitBox[x]/(x0 - x) /. x0 -> 1, {x, -Infinity, Infinity}, 
  PrincipalValue -> True]

在 Mathematica 7.0.0 中，我得到

I Pi+Log[3]
Log[3]

Has this be returned in later versions?有人有（或多或少）一般解决方法的想法吗？

编辑：上面的两个表达式应该计算相同的结果，第一个通过计算积分的一般形式并在 x0=1 处求值，第二个通过使用 x0 执行积分代码> 设置为 <代码>1。由于柯西主值有精确的数学定义，Mathematica 应该给出相同的结果或拒绝回答。

编辑2：同一错误的一个可能更简单的示例，在 Integral 内部和外部放置一个 -1 因子给出不同的答案（第二个给出了正确的答案，第一个没有）：

-Integrate[ UnitBox[x]/(x0 - x), {x, -Infinity, Infinity}, PrincipalValue -> True, Assumptions -> {x0 > 0}]
 Integrate[-UnitBox[x]/(x0 - x), {x, -Infinity, Infinity}, PrincipalValue -> True, Assumptions -> {x0 > 0}]

Answer 1

我不认为这是 PrincipalValue 中的错误。在第一行中，PrincipalValue 无法“正确”工作，因为直到完成Integrate 后才知道极点的位置。

编辑：
我在 Mathematica 中玩了一下，这正是发生的情况。您可以使用 Trace[] 命令。输出有点混乱（这就是为什么我不在这里复制它），但您可以看到集成在哪里完成，x0 的值在哪里被替换，以及它如何与 本金价值。

编辑2：
那么回到解决你的实际问题。如果您使用指定 x=1/2 x0 位于哪一侧的假设，则这两个示例给出相同的答案。

Answer 2

似乎在8.0中已修复：

In[1]:= $Version
Out[1]= "8.0 for Mac OS X x86 (32-bit) (November 13, 2010)"

In[2]:= 
Integrate[UnitBox[x]/(x0 - x), {x, -Infinity, Infinity}, 
   PrincipalValue -> True, Assumptions -> {x0 > 0}] /. 
  x0 -> 1 // Simplify

Out[2]= Log[3]

In[3]:= Integrate[
 UnitBox[x]/(x0 - x) /. x0 -> 1, {x, -Infinity, Infinity}, 
 PrincipalValue -> True]

Out[3]= Log[3]

Answer 3

嗯，Wolfram Alpha，我假设它使用最新版本的 Mathematica，不喜欢你的第一个表达式，并给出了第二个表达式：
log(3)+常量

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[UnitBox[x]%2F%28x0+-+x%29+%2F.+x0+-% 3E+1%2C+{x%2C+-Infinity%2C+Infinity}%2C++++PrincipalValue+-%3E+True]

这篇文章可能适用于这种情况，但我不是数学家专家所以我不知道？
然而，在某些情况下，几个不同的答案都同样符合正式的数学定义。因此，例如，在计算符号积分时，通常存在几种不同的表达式，它们都产生相同的导数。 哪些表达式实际上是由 Integrate 生成的，具体取决于 Integrate 内部的工作方式。