我的 2D/3D 转换工作完美，如何进行透视

Question

虽然这个问题的背景是关于制作 2d/3d 游戏，但我遇到的问题可以归结为一些数学问题。 虽然这是一个 2.5D 世界，但对于这个问题，我们假设它只是 2D 世界。

// xa: x-accent, the x coordinate of the projection
// mapP: a coordinate on a map which need to be projected
// _Dist_ values are constants for the projection, choosing them correctly will result in i.e. an isometric projection 
xa = mapP.x * xDistX + mapP.y * xDistY; 
ya = mapP.x * yDistX + mapP.y * yDistY;

xDistX 和 yDistX 确定 x 轴的角度，xDistY 和 yDistY 确定投影上 y 轴的角度（以及网格的大小，但为了简单起见，我们假设这是 1 像素）。

x-axis-angle = atan(yDistX/xDistX)
y-axis-angle = atan(yDistY/yDistY)

像这样的“正常”坐标系

--------------- x
|
|
|
|
|
y

has values like this:
xDistX = 1;
yDistX = 0;
xDistY = 0;
YDistY = 1;

因此，x 方向上的每一步都会导致投影到右端向下 0 像素 1 像素。投影 y 方向上的每一步都会导致向右 0 步和向下 1 像素。 当选择正确的 xDistX、yDistX、xDistY、yDistY 时，您可以投影任何三轴或二轴系统（这就是我选择此系统的原因）。

到目前为止一切都很好，当绘制出来时一切都很好。如果“我的系统”和思维方式很清晰，那么让我们继续讨论观点。 我想向这个网格添加一些视角，所以我添加了一些额外的内容，如下所示：

camera = new MapPoint(60, 60);
dx = mapP.x - camera.x; // delta x
dy = mapP.y - camera.y; // delta y
dist = Math.sqrt(dx * dx + dy * dy); // dist is the distance to the camera, Pythagoras etc.. all objects must be in front of the camera

fac = 1 - dist / 100; // this formula determines the amount of perspective

xa = fac * (mapP.x * xDistX  + mapP.y * xDistY) ;
ya = fac * (mapP.x * yDistX + mapP.y * yDistY );

现在真正困难的部分...如果你在投影上有一个 (xa,ya) 点并想要计算原始点 (x,y ）。 对于第一种情况（没有透视），我确实找到了反函数，但是对于具有透视的公式如何做到这一点。可能数学技能还不能完全应对解决这个问题的挑战。

（我依稀记得很久以前mathematica可以为某些特殊情况创建反函数......它可以解决这个问题吗？有人可以尝试吗？）

Answer 1

您定义的函数没有反函数。举个例子，正如 user207422 已经指出的那样，距离相机 100 个单位的任何东西都将被映射到 (xa,ya)=(0,0)，因此逆函数不是唯一定义的。

更重要的是，这不是计算透视的方式。通常，透视缩放因子定义为 viewdist/zdist，其中 zdist 是从相机到物体的垂直距离，viewdist 是常数这是从摄像机到所有内容都被投影到的假设屏幕的距离。 （参见此处的图表，但请随意忽略该页面上的其他所有内容。）您在示例中使用的缩放因子没有相同的行为。

这是尝试将代码转换为正确的透视计算的尝试（请注意，我没有简化为 2D；透视是将三个维度投影为两个维度，尝试将问题简化为 2D 是毫无意义的）

camera = new MapPoint(60, 60, 10);
camera_z = camera.x*zDistX + camera.y*zDistY + camera.z*zDistz;

// viewdist is the distance from the viewer's eye to the screen in
// "world units". You'll have to fiddle with this, probably.
viewdist = 10.0;

xa = mapP.x*xDistX + mapP.y*xDistY + mapP.z*xDistZ;
ya = mapP.x*yDistX + mapP.y*yDistY + mapP.z*yDistZ;
za = mapP.x*zDistX + mapP.y*zDistY + mapP.z*zDistZ;

zdist = camera_z - za;
scaling_factor = viewdist / zdist;
xa *= scaling_factor;
ya *= scaling_factor;

：从此函数返回xa和ya； za 仅用于透视计算。我假设“za 方向”指向屏幕之外，因此如果预投影 x 轴指向观看者，则 zDistX 应该为正，反之亦然，对于zDistY。对于三轴投影，您可能会有 xDistZ==0、yDistZ<0 和 zDistZ==0。这将使预投影 z 轴在投影后指向正上方。

现在有坏消息：这个函数也没有逆函数。任何点 (xa,ya) 都是无数个点 (x,y,z) 的图像。但！如果假设 z=0，那么您可以求解 x 和 y，这可能已经足够好了。

为此，您必须做一些线性代数。计算 camera_x 和 camera_y 类似于 camera_z。这是相机变换后的坐标。屏幕上的点具有变换后坐标(xa,ya,camera_z-viewdist)。通过这两个点画一条线，并计算向量 (xDistX, yDistX, zDistX) 和 (xDistY, yDistY, zDistY) 所跨越的平面的相交位置。换句话说，您需要求解方程：

x*xDistX + y*xDistY == s*camera_x + (1-s)*xa
x*yDistX + y*yDistY == s*camera_y + (1-s)*ya
x*zDistX + y*zDistY == s*camera_z + (1-s)*(camera_z - viewdist)

这并不漂亮，但它会起作用。

Answer 2

我认为通过您的帖子我可以解决问题。不过，澄清一些问题：

在 2d 中解决问题确实没有用，但这只是为了让问题更容易理解（对于我和这里的读者）。我的程序实际上给出了完美的 3D 投影（我用搅拌机渲染的 3D 图像检查了它）。不过，我确实遗漏了一些关于反函数的内容。反函数仅适用于 0..camera.x * 0.5 和 0..camera.y*0.5 之间的坐标。所以在我的例子中是 0 到 30 之间。但即便如此，我仍然对我的功能有疑问。

在我的投影中，z 轴始终是笔直向上的，因此为了计算物体的高度，我只使用了视角。但由于你实际上不能飞或跳到天空中，所以所有东西都只有一个 2d 点。这也意味着当你尝试求解 x 和 y 时，z 实际上是 0。

我知道并非每个函数都有逆函数，有些函数有，但仅适用于特定域。我对此的基本想法是...如果我可以使用函数绘制一个网格...该网格上的每个点都映射到一个地图点。我可以读取 x 和 y 坐标，因此如果我有正确的函数，我就能够计算倒数。
但是没有比一些好的扎实的数学更好的替代品了，我很高兴你花时间给出非常有用的回应:)。