如何计算曲线上的点？

Question

我正在为 wpf 编写一个自定义动画，作为一个非数学人员，我有几个问题...

如果给我两个 Point3D，From 和 To，并假设原点位于 0,0,0，我如何计算两点之间的曲线？

一旦我“绘制”了曲线并且我知道它的长度（也该怎么做？），我如何计算沿线给定距离处的 x，y，z 坐标？

谢谢！

Answer 1

您可能希望将曲线表示为某些其他变量的一组参数函数：

x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)

where 0 <= t <= 1, and

f(0) = from.x, f(1) = to.x
g(0) = from.y, g(1) = to.y
h(0) = from.z, h(1) = to.z

连接任意两点的曲线有无数条，因此您需要更多
决定 f(t)、g(t) 和 h(t) 应采用什么形式的信息。移动一个点
沿着曲线，您只需让 t 在 0 和 1 之间变化并计算 x、y 和 z
坐标。一种方法是定义一组您想要的控制点
曲线通过（或接近），然后用以下形式表达参数方程
样条函数。为此，您不需要知道曲线的弧长。

Answer 2

所以我只是想跟进我的解决方案 - 虽然确实有无数条曲线 - 我的（措辞不好的）问题是如何在曲线上的两点之间绘制 - 最短距离，假设原点为 0， 0,0 和两个 3d 点。我所做的是将我的点从笛卡尔坐标转换为极坐标，计算给定时间的球面点，然后将该点转换回笛卡尔坐标。如果有人希望我发布实际的 C# 代码，请告诉我。

Answer 3

要获得从 A 点到 B 点的直线向量：

B-A

可以转换为：

vector.x = b.x - a.x;
vector.y = b.y - a.y;
vector.z = b.z - a.z;

长度是：

length = Math.Sqrt(vector.x * vector.x +
                   vector.y * vector.y +
                   vector.z * vector.z);

要沿着向量获得一定距离的点，您需要将向量设为单位向量（长度为 1）：

 vector.x = vector.x / length;
 ...

然后乘以您的距离：

 vector.x = distance * vector.x;
 ...

这都是从内存中得出的，因此可能不立即编译。

CodeProject 上有A Vector Type for C#，它可以为您做很多事情。

如果您想要一条曲线，那么您需要：

a) 定义您想要的曲线类型（圆弧、样条线等）

b) 更多点（中心、控制点等）