大数的动态幂和模运算

Question

我将某个基数 b 进行 p 次幂，并对其取 m 模。

假设 b=55170 或 55172，m=3043839241（恰好是 55171 的平方）。 linux-calculator bc 给出了结果（我们需要它来控制）：

echo "p=5606;b=55171;m=b*b;((b-1)^p)%m;((b+1)^p)%m" | bc
2734550616
309288627

现在计算 55170^5606 给出了一个有点大的数字，但由于我必须进行模运算，我可以绕过 BigInt 的使用，我想，因为：

(a*b) % c == ((a%c) * (b%c))%c i.e.
(9*7) % 5 == ((9%5) * (7%5))%5 =>
63 % 5    == (4     *    2) %5 =>
3         == 8 % 5

... 并且 a^d = a^(b+c) = a^b * a^c，因此我可以将 b+c 除以 2，这给出了对于偶数或奇数 ds d /2 和 d-(d/2)，因此对于 8^5，我可以计算 8^2 * 8^3。

所以我的（有缺陷的）方法总是动态地切断除数，看起来像这样：

def powMod (b: Long, pot: Int, mod: Long) : Long = { 
      if (pot == 1) b % mod else {
          val pot2 = pot/2
          val pm1 = powMod (b, pot2, mod)             
          val pm2 = powMod (b, pot-pot2, mod)           
          (pm1 * pm2) % mod 
      } 
}

并输入一些值，

powMod (55170, 5606, 3043839241L) 
res2: Long = 1885539617
powMod (55172, 5606, 3043839241L) 
res4: Long = 309288627

正如我们所看到的，第二个结果与上面的结果完全相同，但第一个结果看起来完全不同。我做了很多这样的计算，只要它们保持在 Int 范围内，它们似乎都是准确的，但我看不到任何错误。使用 BigInt 也可以，但速度太慢：（

def calc2 (n: Int, pri: Long) = {
    val p: BigInt = pri
    val p3 = p * p
    val p1 = (p-1).pow (n) % (p3)
    val p2 = (p+1).pow (n) % (p3)
    print ("p1: " + p1 + " p2: " + p2)
}

calc2 (5606, 55171) 
p1: 2734550616 p2: 309288627

与 bc 的结果相同）有人可以看到 powMod 中的错误吗？

Answer 1

我认为答案就在这里：

scala> math.sqrt(Long.MaxValue).toLong < 3043839241L
res9: Boolean = true

这意味着即使对于小于该特定模块值的数字，您也可能会出现长时间溢出。让我们试着抓住它：

scala> def powMod (b: Long, pot: Int, mod: Long) : Long = {
     |       if (pot == 1) b % mod else {
     |           val pot2 = pot/2
     |           val pm1 = powMod (b, pot2, mod)
     |           val pm2 = powMod (b, pot-pot2, mod)
     |           val partial = ((pm1 % mod) * (pm2 % mod)).ensuring(res =>
     |             res > pm1 % mod && res > pm2 % mod, "Long overflow multiplying "+pm1+" by "+pm2)
     |           partial % mod
     |       }
     | }
powMod: (b: Long,pot: Int,mod: Long)Long

scala> powMod (55170, 5606, 3043839241L)
java.lang.AssertionError: assertion failed: Long overflow multiplying 3042625480 by 3042625480

你就得到了它。

Answer 2

不熟悉 Scala，但是...

def powMod (b: Long, pot: Int, mod: Long) : Long = {  
      if (pot == 1) b % mod else { 
          val pot2 = pot/2 
          val pm1 = powMod (b, pot, mod)              
          val pm2 = powMod (b, pot-pot2, mod)            
          (pm1 * pm2) % mod  
      }  
} 

您的意思是

          val pm1 = powMod (b, pot2, mod) 

注意 pot2 而不是 pot。

奇怪的是，似乎这应该永远循环/溢出堆栈，但谁知道 Scala 在做什么。

Answer 3

好吧，伙计们，我花了一些时间，最终摧毁了一个很长但从未被证实的假设，即如果将两个 64 位正整数值（又名：长整型，毕竟实际上只有 63 位）相乘，您可能会超出范围并获得负值，但不会再次达到正值（但错误）。

所以我尝试在我的代码中添加一个守卫，用 BigInt 计算我的值，它太大了，但是守卫不够，因为我测试了 res res < 0 。 <代码>res < pm1 &&分辨率< pm2 也不够。

为了提高速度，我使用了 mutable.HashMap，现在代码如下所示：

val MVL : Long = Integer.MAX_VALUE
var modPow = new scala.collection.mutable.HashMap [(Long, Int, Long), Long ] () 

def powMod (b: Long, pot: Int, mod: Long) : Long = { 
      if (pot == 1) b % mod else modPow.getOrElseUpdate ((b, pot, mod), {
    val pot2= pot/2
    val pm1 = powMod (b, pot2, mod)             
    val pm2 = powMod (b, pot-pot2, mod)
    val res = (pm1 * pm2) 
    // avoid Long-overrun
    if (pm1 < MVL && pm2 < MVL)
        res % mod else {
            val f1: BigInt = pm1
            val f2: BigInt = pm2
            val erg = (f1 * f2) % mod
            erg.longValue 
        }
      })
}

您可能会问自己，长声明的 MVL 是否真的需要，或者 a 是否

if (pm1 < Integer.MAX_VALUE && ...

也可以工作。不，不会的。 :) 另一个需要避免的陷阱。 :)

最后，它非常快且正确，我学到了关于溢出和 MAX_VALUE 的两个教训 - 比较。