矢量增量和在未知区域中移动

Question

我需要一些数学帮助，但我似乎找不到答案，任何文档链接将不胜感激。

这是我的情况，我不知道我在这个迷宫中的哪里，但我需要四处走动并找到回到起点的路。我正在考虑实现一个路径点列表，其中包含从 0,0 开始偏移的位置。这是一个二维笛卡尔平面。

我被赋予了 2 个属性，我的平移速度从 0-1 以及我的旋转速度从 -1 到 1。-1 是非常左的，+1 是非常右的。这些是速度而不是角度，所以这就是我的问题所在。如果我的平移速度为 0，并且为 0.2，我将不断地以低速向右转向。

如何计算给定这两个变量的偏移量？每次我迈出“一步”时我都可以存储它。

我只需要计算出给定平移和旋转速度的 x 和 y 项的偏移量。以及到达这些点的旋转。

任何帮助表示赞赏。

Answer 1

您的问题在几点上不清楚，所以我必须做出一些假设：

1. 在每个时间间隔内，平移速度和旋转速度是恒定的。
2. 您知道每个时间间隔内这些变量的值（并且您知道可用单位的旋转速度，例如每秒弧度，而不仅仅是“非常左”）。
3. 你知道最初的航向。
4. 您可以保持足够的精度，舍入误差不再是问题。

鉴于此，存在精确解。首先是简单的部分：

delta_angle = omega * delta_t

其中 omega 是角速度。行进的距离（可能沿着曲线）是

dist = speed * delta_t

，曲线的半径是

radius = dist / delta_angle

（当角速度接近零时，这会变得很大——我们稍后会处理这个问题。）如果角度（在开始时）区间）为零，定义为指向+x方向，那么区间内的平移很容易，我们将其称为 deta_x_0 和 delta_y_0：

delta_x_0 = radius * sin(delta_angle)
delta_y_0 = radius * (1 - cos(delta_angle))

因为我们希望能够处理非常小的 delta_angle并且半径非常大，我们将展开 sin 和 cos，并且仅当角速度接近零时才使用它：

dx0 = r * sin(da)     = (dist/da) * [ da - da^3/3! + da^5/5! - ...]
                     =  dist     * [  1 - da^2/3! + da^4/5! - ...]

dy0 = r * (1-cos(da)) = (dist/da) * [ da^2/2! - da^4/4! + da^6/6! - ...]
                     =  dist     * [   da/2! - da^3/4! + da^5/6! - ...]

但角度通常不等于零，因此我们必须旋转这些位移：

dx = cos(angle) * dx0 - sin(angle) * dy0
dy = sin(angle) * dx0 - cos(angle) * dy0

Answer 2

您可以分两个阶段进行。首先计算出方向的变化以获得新的方向向量，然后使用这个新方向计算出新的位置。类似于

angle = angle + omega * delta_t;

const double d_x = cos( angle );
const double d_y = sin( angle );

x = x + d_x * delta_t * v;
y = y + d_y * delta_t * v;

您在每一步中存储当前角度的位置。 (d_x, d_y) 是当前方向向量，omega 是您拥有的旋转速度。 delta_t 显然是你的时间步长，v 是你的速度。

将其分为两个不同的阶段可能太天真了。我不确定我是否真的考虑过太多，也没有测试过它，但如果它有效，请告诉我！