圆柱/圆锥上均匀生成 3D 点

Question

我希望在圆柱体和圆锥体上（分别）随机且均匀地生成点。圆柱体由其中心、半径和高度定义。锥体规格相同。我能够获得每个形状的边界框，因此我正在考虑在边界框内生成点。但是，我不确定如何将它们投影到圆柱体/圆锥体上，或者这是否是最好的主意。

有什么建议吗？

谢谢。

Answer 1

气缸外壳是微不足道的。如果半径为r的圆柱体> 0且高度h＞1 0 是 (x, y, z) = (r cos φ, r sin φ, z) 在 φ ε [0, 2π[ 和 z ε [-h/2, h/2] 上的图像，然后只需选择 φ和 z 在这些间隔上随机。当然，也可以使用标准参数化来简单地参数化圆锥体，但是面积元素在参数平面上将不是恒定的，因此点的分布将不是随机的。因此，您需要找到不同的参数化。我已经在 我的 AlgoSim 网站 中详细讨论了这个主题。

Answer 2

一种思考方法是，圆柱体和圆锥体都可以展开成平坦的表面 - 只需从上到下用直线切割每个表面即可。

圆柱体展开成一个矩形（如果包括顶部和底部，则添加几个圆盘）。

圆锥体展开成一个三角形，底部弯曲，即圆弧（如果包括圆锥体的底部，则添加一个圆盘）。

将这些平面嵌入 ​​xy 平面上的矩形 R 内非常容易。在 R 中生成均匀分布的点，只要它们位于平面内，就将它们映射回原始曲面。

请注意这里的一些其他答案，它们试图在角度和高度方面协调圆锥体。尽管这些点将在角度和高度方面均匀分布，但它们在面积方面不会均匀分布。它们在尖端的分布会更加密集。

Answer 3

直接在圆柱体或圆锥体上生成点会更简单。

我已经有一段时间没有这样做了，但参数化圆柱体的轴，然后为每个点参数化该高度处的圆。这将在曲面上创建点。圆的半径就是圆柱的半径。

对于圆锥体，当您从底部移动到顶点时，您需要减小圆的半径。

Answer 4

让一个点由坐标r、a、h定义，其中r是“半径”（距离从穿过中心的垂直轴算起），a 是极坐标中的角度，h 是其高度。

对于圆柱体（半径R和高度H）：独立选择

• [0, 2pi)中的a均匀分布，
• h 在 [0、H] 和
• r 中均匀，具有“三角密度”：f(r) = 2 r / R 如果 0 <= r <= R，否则为 0（密度为r 应与半径为 r 的圆周长度成正比）。

从这样的三角分布中采样应该不难，因为它的累积分布（二次单项式）很容易可逆（参见

对于圆锥（半径R和高度H）：选择

• [0, 2pi)中的a均匀，
• < em>h，密度由一段抛物线构成：f(h) = 3 (H - h)^ 2 / H^3 如果 0 <= h <= H，否则为 0（h 处的密度> 应与高度 h 处的圆形截面面积成正比，
• 令 r( h ) = (H - h) R / H（高度 h 处截面的半径）；然后选择具有“三角分布”的 r f(r) = 2 r / r( h ) 如果 0 <= r <= r( h )，否则为 0。

同样，采样 h 应该很容易，因为累积分布很容易可逆。

编辑。如果您的意思是在形状的表面上生成点，那么解决方案更简单：

圆柱：选择

• [0, 2pi 中的a 均匀)，
• h 统一为 [0, H]，
• r = R。

圆锥：选择

• [0, 2pi)中的a均匀，
• h，三角形密度：f(h) = 2 (H - h) / H^2 如果 0 <= h <= H，否则为 0（h 处的密度应与高度 h 处的圆周长度成正比）。
• r = r( h ) = (H - h) R / H = 高度 h 处的半径。

Answer 5

其他答案已经很好地涵盖了气缸壳。对于圆锥体来说，事情有点困难。为了保持点的密度恒定，您需要补偿半径的变化。

为此，您可以首先选择点之间的距离。当您沿着圆锥体的轴移动时，您可以计算该高度处的周长，然后将周长除以点之间的线性距离以获得点数。然后将 2pi 弧度（或 360 度，或其他）除以点数即可得到该半径的角距离。

根据您需要的精度，您可以在计算下一个圆时跟踪一个圆的余数。例如，如果连续有两个圆圈需要 xxx.4 点，那么如果单独查看，您会将每个圆圈向下舍入 - 但将它们放在一起查看，您有 xxx.8 点，所以您应该一个向下舍入，另一个向上舍入，以使整体密度尽可能接近正确值。

请注意，虽然不是那么明显，但后者也适用于圆柱体——通常在分配每个点圆时会进行一些舍入。

Answer 6

将这些答案放在伪代码中：

对于圆柱体，给定圆柱体半径和圆柱体高度：

angle = random number between 0 & 360

x = cos(pi/180*angle)*cylinderRadius
y = sin(pi/180*angle)*cylinderRadius
z = random number between 0 and cylinderHeight.

对于圆锥体，给定圆锥体半径，圆锥体高度：

angle = random number between 0 & 360

z = random number between 0 and coneHeight

thisRadius = coneRadius * (1-(z/coneHeight)); //This gives a decreasing radius as height increases.

x = cos(pi/180*angle)*thisRadius
y = sin(pi/180*angle)*thisRadius

每个点 (x,y,z) 将位于圆柱体/圆锥体上。生成足够多的这些点，您可以在圆柱体/圆锥体的表面上生成粒子，但它可能不会产生完全均匀的分布......

Answer 7

对于半径为 R 且高度/高程为 H 的圆或圆锥上的均匀点：

generate:
  angle= uniform_random(0,2*pi)
  value= uniform_random(0,1)

in either case, let:
  r= R * sqrt(value)

then (using separate random numbers for each):
  circle_point= point3d( r*cos(angle), r*sin(angle), H )
or:
  cone_point= point3d( r*cos(angle), r*sin(angle), r*H )

请注意，如果您想要圆锥上有一个底座，则需要与弯曲形状分开进行。为了确保不同零件的点密度相同，一个简单的方法是计算零件的面积并为每个零件生成相应数量的点。

sqrt(value) 可以确保随机点的密度是均匀的。正如其他问题所提到的，您需要一个三角分布；使用 sqrt() 将 [0,1) 上的均匀分布转变为三角形分布。

对于圆柱体，您不需要 sqrt();弯曲部分为：

  cylinder_point= point3d( R*cos(angle), R*sin(angle), H*value )