计算用于定义二次贝塞尔曲线分段的参数

Question

我有一条二次贝塞尔曲线，描述为（startX，startY）到（anchorX，anchorY）并使用控制点（controlX，controlY）。

我有两个问题：

（1）我想根据 x 点确定该曲线上的 y 点。

(2) 然后，给定贝塞尔曲线上的线段（由贝塞尔曲线上的两个中间点定义（startX'、startY'、anchorX'、anchorY'）），我想知道该线段的控制点使其与原始贝塞尔曲线完全重叠。

为什么？我需要这些信息来进行优化。我正在画很多水平贝塞尔曲线。当贝塞尔曲线大于屏幕时，性能会受到影响，因为渲染引擎最终会渲染超出可见范围。这个问题的答案将让我只渲染可见的内容。

Answer 1

第 1 部分

二次贝塞尔曲线的公式为：

B(t) = a(1-t)2    + 2bt(1-t)   + ct2
     = a(1-2t+t2) + 2bt - 2bt2 + ct2
     = (a-2b+c)t2+2(b-a)t + a

其中粗体表示向量。给定 B_x(t)，我们有：

x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

其中 v_x 是 的 x 分量v。

根据二次公式，

     -2(bx-ax) ± 2√((bx-ax)2 - ax(ax-2bx+cx))
t = -----------------------------------------
             2(ax-2bx+cx)
             
     ax-bx ± √(bx2 - axcx)
  = ----------------------
         ax-2bx+cx

假设存在解，将 t 代入原方程即可得到给定 x 处的 B(t) 的其他分量。

第 2 部分

您可以简单地将参数参数的域限制为 [0,1 的适当子区间，而不是生成与第一条贝塞尔曲线的一部分重合的第二条贝塞尔曲线（我现在不想处理符号） ]。也就是说，使用第 1 部分查找两个不同 x 值的 t 值；将这些 t 值称为 i 和 j。画 B(t) 为 t ∈ [i,j]。等价地，为 t ∈ [0,1] 绘制 B(t(ji)+i)。

Answer 2

t 方程是错误的，您需要使用 eq(1)

(1) x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

并使用根 (2) 的二次公式求解。

           -b ± √(b^2 - 4ac)
  (2)  x = -----------------
              2a

在哪里

a = ax-2bx+cx
b = 2(bx-ax)
c = ax - x