2D 逆运动学实现

Question

我正在尝试在 2D 手臂（由三根带关节的棍子组成）上实现逆运动学。我能够将最低的手臂旋转到所需的位置。现在，我有一些问题：

1. 如何使上臂与第三臂一起移动，使手臂的终点到达所需的点。我是否需要对两者都使用旋转矩阵，如果是的话，有人可以给我一些例子或帮助吗？是否有其他可能的方法可以在没有旋转矩阵的情况下做到这一点？？？

2. 最下面的手臂仅向一个方向移动。我尝试用谷歌搜索，他们说两个向量的叉积给出了手臂的方向，但这是针对 3D 的。我使用 2D 和两个 2D 向量的叉积给出一个标量。那么，我怎样才能确定它的方向？？？

请大家提供任何帮助，我们将不胜感激......

提前致谢 维克拉姆

Answer 1

我会尝试一下，但由于我的机器人技术已经是二十年前的事了，所以对此持保留态度。

根据我的学习方式，每个关节都由其自己的旋转矩阵描述，相对于其当前位置和方向定义。然后通过将旋转矩阵组合在一起来计算整个手臂端点的坐标。

这完全达到了您想要的效果：您只能移动一个关节（改变其方向），所有其他关节都会自动跟随。

在这里，您没有太多机会绕过矩阵 - 事实上，如果您使用齐次坐标，所有联合计算（旋转和平移）都可以使用矩阵乘法进行建模。优点是可以用单个矩阵（加上手臂的原点）来描述完整的手臂位置。

使用此变换矩阵，您可以解决逆运动学问题：由于变换矩阵的元素将取决于关节的角度，因此您可以将整个计算“端点 = 起点 x 变换”视为一个方程组，并以起点并且端点已知，您可以求解该系统以确定未知角度。这里的困难在于方程可能不可解，或者有多个解。

不过，我不太明白你的第二个问题 - 你在寻找什么？

Answer 2

1. 旋转可以用其角度或 单位圆的复数，但实际上是同一件事。更重要的是，您需要刚体变换的表示T ，这样您就可以编写诸如 t1 * t2 * t3 之类的内容来计算第三个链接的位置和方向。

2. 使用atan2计算之间的角度向量。

正如下面的 Python 示例所示，这两件事足以构建一个小型 IK 解算器。

from gameobjects.vector2 import Vector2 as V
from matrix33 import Matrix33 as T
from math import sin, cos, atan2, pi
import random

gameobjects 库没有 2D 转换，因此您必须编写 matrix33 你自己。它的接口就像gameobjects.matrix44。

定义从一个关节到下一个关节变换的正向运动学函数。我们假设关节旋转角度，然后进行固定变换joint：

def fk_joint(joint, angle): return T.rotation(angle) * joint

工具的变换为tool == fk(joints, q) code> 其中 joints 是固定变换，q 是关节角度：

def fk(joints, q):
    prev = T.identity()
    for i, joint in enumerate(joints):
        prev = prev * fk_joint(joint, q[i])
    return prev

如果手臂的底座有偏移，请替换 T.identity()< /代码> 转换。

OP正在通过循环坐标下降来解决位置的IK问题。这个想法是通过一次调整一个关节变量来使工具更接近目标位置。令q 为关节的角度，prev 为关节底座的变换。关节应旋转工具和目标位置向量之间的角度：

def ccd_step(q, prev, tool, goal):
    a = tool.get_position() - prev.get_position()
    b = goal - prev.get_position()
    return q + atan2(b.get_y(), b.get_x()) - atan2(a.get_y(), a.get_x())

遍历关节并为关节值的每次更改更新工具配置：

def ccd_sweep(joints, tool, q, goal):
    prev = T.identity()
    for i, joint in enumerate(joints):
        next = prev * fk_joint(joint, q[i])
        q[i] = ccd_step(q[i], prev, tool, goal)
        prev = prev * fk_joint(joint, q[i])
        tool = prev * next.get_inverse() * tool
    return prev

请注意 fk() 和 ccd_sweep() 对于 3D 是相同的；你只需要重写fk_joint()和ccd_step()。

构造一个具有 n 个相同链接的臂，并从随机臂配置 q 开始运行 CCD 扫描的 cnt 次迭代：

def ccd_demo(n, cnt):
    q = [random.uniform(-pi, pi) for i in range(n)]
    joints = [T.translation(0, 1)] * n
    tool = fk(joints, q)
    goal = V(0.9, 0.75)  # Some arbitrary goal.
    print "i     Error"
    for i in range(cnt):
        tool = ccd_sweep(joints, tool, q, goal)
        error = (tool.get_position() - goal).get_length()
        print "%d  %e" % (i, error)

我们可以尝试求解器并比较不同链接数量的收敛速度：

>>> ccd_demo(3, 7)
i     Error
0  1.671521e-03
1  8.849190e-05
2  4.704854e-06
3  2.500868e-07
4  1.329354e-08
5  7.066271e-10
6  3.756145e-11
>>> ccd_demo(20, 7)
i     Error
0  1.504538e-01
1  1.189107e-04
2  8.508951e-08
3  6.089372e-11
4  4.485040e-14
5  2.601336e-15
6  2.504777e-15

Answer 3

在机器人技术中，我们最常使用 DH 参数来表示正向和反向运动学。 维基百科有一个很好的介绍。

Answer 4

DH (Denavit-Hartenberg) 表示法是解决方案的一部分。它可以帮助您收集一组简洁的值来描述机器人的机械结构，例如连杆长度和关节类型。

从那里开始计算正向运动学变得更加容易。您首先要了解的是如何将坐标系从一个地方平移到另一个坐标系。例如，给定您的机器人（或其 DH 表），您必须将一组旋转和平移应用于一个坐标系（例如世界）才能知道坐标系中点（或向量）的位置。机器人的手腕坐标系。

您可能已经知道，齐次变换矩阵对于此类变换非常有用。它们是封装旋转和平移的 4x4 矩阵。这些矩阵的另一个非常有用的属性是，如果您有两个通过某种旋转和平移链接和定义的坐标系，如果您将两个矩阵相乘，那么您只需将变换目标乘以该乘法的乘积即可。

因此 DH 表将帮助您构建该矩阵。

不过，逆运动学有点复杂，取决于您的应用程序。复杂性是由于同一问题有多种解决方案而产生的。 DOF 数量越多，解的数量就越多。

想想你的手臂。捏住你周围的一些坚固的东西。您可以将手臂移动到空间中的多个位置，并且仍然保持捏合矢量不变。解决逆运动学问题还涉及决定选择哪种解决方案。