cos(atan2(y,x)) 与使用复数、C++ 的精度

Question

我正在编写一些坐标变换（更具体地说是 Joukowsky 变换，Wikipedia Joukowsky 变换），并且我对性能感兴趣，当然还有精度。我尝试以两种方式进行坐标转换：

1）使用双精度分别计算实部和复部，如下所示：

double r2 = chi.x*chi.x + chi.y*chi.y;

//double sq = pow(r2,-0.5*n) + pow(r2,0.5*n); //slow!!!
double sq = sqrt(r2); //way faster!
double co = cos(atan2(chi.y,chi.x));
double si = sin(atan2(chi.y,chi.x));

Z.x = 0.5*(co*sq + co/sq);
Z.y = 0.5*si*sq;

其中 chi 和 Z 是简单结构，以双 x 和 y 作为成员。

2）使用复数：

Z = 0.5 * (chi + (1.0 / chi));

其中Z和chi是复数。有趣的是，情况 1) 确实更快（大约 20%），但精度很差，逆变换后逗号后面的第三个小数会出现错误，而复数则返回准确的数字。 那么，问题出在 cos(atan2)、sin(atan2) 上？但如果是的话，综合体如何处理呢？

编辑：刚刚发现这不完全是我想到的问题。我必须进行一般转换，如

Z = 1/2*(chi^n + (1/chi)^n)，到目前为止，上面的代码是我想到的方法。更准确地说，

    double sq = pow(sqrt(r2),n); //way faster!
double co = cos(n*atan2(chi.y,chi.x));
double si = sin(n*atan2(chi.y,chi.x));

Z.x = 0.5*(co*sq + co/sq);
Z.y = 0.5*(si*sq - sq/si);

还纠正了 Zy 上的错误

Answer 1

给定 r = sqrt(x*x+y*y)：

cos(atan2(y,x)) == x/r
sin(atan2(y,x)) == y/r

这样计算应该更准确、更快。

当您将这些值代入 Zx 和 Zy 的公式时，平方根也将被抵消，因此您将只剩下基本的算术运算。

Answer 2

我认为 1) 应该是

Z.y = 0.5*(si*sq - si/sq);

如果你想要真正好的性能，你可能想回到第一原则并观察

1/(a+ib) = (a-ib)/(a*a+b*b)

没有 sqrt()、atan2() 或cos() 或 sin()。