使用二阶二次曲线平滑小数据集

Question

我正在做一些特定的信号分析，我需要一种方法来平滑给定的钟形分布曲线。运行平均方法不会产生我想要的结果。我想保持拟合曲线的最小/最大和总体形状完整，但解决采样中的不一致问题。

简而言之：如果给定一组模拟简单二次曲线的数据，您会推荐哪种统计平滑方法？

如果可能，请参考实现、库或框架。

谢谢！

编辑：一些有用的数据

（可能的信号图）

深色二次曲线是浅色连接数据点的“拟合”曲线。

样本@ -44（大约）是我的图表中的一个问题（即潜在的样本不一致）。我需要这条曲线来更好地“拟合”分布，并克服不相应趋势的值。希望这有帮助！

Answer 1

#include <iostream>
#include <math.h>

struct WeightedData 
{
double x;
double y;
double weight;
};

void findQuadraticFactors(WeightedData *data, double &a, double &b, double &c, unsigned int const datasize)
{
double w1 = 0.0;
double wx = 0.0, wx2 = 0.0, wx3 = 0.0, wx4 = 0.0;
double wy = 0.0, wyx = 0.0, wyx2 = 0.0;
double tmpx, tmpy;
double den;

for (unsigned int i = 0; i < datasize; ++i) 
    {
    double x = data[i].x;
    double y = data[i].y;
    double w = data[i].weight;  

    w1 += w;
    tmpx = w * x;
    wx += tmpx;
    tmpx *= x;
    wx2 += tmpx;
    tmpx *= x;
    wx3 += tmpx;
    tmpx *= x;
    wx4 += tmpx;
    tmpy = w * y;
    wy += tmpy;
    tmpy *= x;
    wyx += tmpy;
    tmpy *= x;
    wyx2 += tmpy;
    }

den = wx2 * wx2 * wx2 - 2.0 * wx3 * wx2 * wx + wx4 * wx * wx + wx3 * wx3 * w1 - wx4 * wx2 * w1;
if (den == 0.0) 
    {
    a = 0.0;
    b = 0.0;
    c = 0.0;
    }
else    
    {
    a = (wx * wx * wyx2 - wx2 * w1 * wyx2 - wx2 * wx * wyx + wx3 * w1 * wyx + wx2 * wx2 * wy - wx3 * wx * wy) / den;
    b = (-wx2 * wx * wyx2 + wx3 * w1 * wyx2 + wx2 * wx2 * wyx - wx4 * w1 * wyx - wx3 * wx2 * wy + wx4 * wx * wy) / den;
    c = (wx2 * wx2 * wyx2 - wx3 * wx * wyx2 - wx3 * wx2 * wyx + wx4 * wx * wyx + wx3 * wx3 * wy - wx4 * wx2 * wy) / den;
    }

}

double findY(double const a, double const b, double const c, double const x)
{       
return a * x * x + b * x + c; 
};




int main(int argc, char* argv[])
{
WeightedData data[9];
data[0].weight=1; data[0].x=1; data[0].y=-52.0; 
data[1].weight=1; data[1].x=2; data[1].y=-48.0; 
data[2].weight=1; data[2].x=3; data[2].y=-43.0; 
data[3].weight=1; data[3].x=4; data[3].y=-44.0; 
data[4].weight=1; data[4].x=5; data[4].y=-35.0; 
data[5].weight=1; data[5].x=6; data[5].y=-31.0; 
data[6].weight=1; data[6].x=7; data[6].y=-32.0; 
data[7].weight=1; data[7].x=8; data[7].y=-43.0; 
data[8].weight=1; data[8].x=9; data[8].y=-52.0; 

double a=0.0, b=0.0, c=0.0;
findQuadraticFactors(data, a, b, c, 9);
std::cout << " x \t y" << std::endl;
for (int i=0; i<9; ++i)
    {
    std::cout << " " << data[i].x << ", " << findY(a,b,c,data[i].x) << std::endl;
    }
}

Answer 2

一个简单的数字低通滤波器怎么样？

y[0] = x[0];
for (i = 1; i < len; ++i)
    y[i] = a * x[i] + (1.0 - a) * y[i - 1];

在本例中，x[] 是您的输入数据，y[] 是过滤后的输出。 a 系数是一个介于 0 和 1 之间的值，您应该对其进行调整。 a 值为 1 会重现输入和截止频率 随着a接近0而减小。

Answer 3

也许您的运行平均值的参数设置错误（样本窗口太小或太大）？

它只是叠加在钟形曲线上的噪声吗？噪声频率与您尝试检索的信号频率有多接近？您尝试提取内容的图片可能会帮助我们找到解决方案。

如果您可以做出合理的猜测，您可以使用最小二乘拟合尝试某种拟合算法函数参数。这类技术通常具有一定的抗噪声能力。

Answer 4

“二次”曲线是一回事；“二次”曲线是一回事。 “钟形”通常表示高斯正态分布。获得最佳估计高斯曲线再简单不过了：您计算样本均值和方差，并且您的平滑近似为

y = exp(-squared(x-mean)/variance)

如果另一方面，您想用二次近似平滑曲线，我建议计算二次多项式具有最小平方误差。我永远记不起这个公式，但如果您学过微积分，请写出总平方误差（逐点）的公式，并对二次方程的系数进行微分。将一阶导数设置为零并求解最佳近似值。或者你可以查一下。

最后，如果您只是想要一条看起来平滑的曲线来近似一组点，三次样条< /a> 是你最好的选择。这些曲线不一定意味着什么，但您会得到一个很好的平滑近似值。