高斯滤波器的拉普拉斯算子的使用

Question

这是 LoG 过滤的公式：
_{（来源：ed.ac.uk)}

另外，在具有 LoG 过滤的应用程序中，我发现该函数仅使用一个参数调用： 西格玛（σ）。 我想尝试使用该公式进行 LoG 过滤（之前的尝试是通过高斯过滤器，然后是具有一定过滤器窗口大小的拉普拉斯过滤器） 但是看着这个公式我无法理解过滤器的大小如何与这个公式联系起来，这是否意味着过滤器的大小是固定的？ 你能解释一下如何使用它吗？

Answer 1

正如您现在可能已经从其他答案和链接中了解到的那样，LoG 过滤器会检测图像中的边缘和线条。仍然缺少对 σ 是什么的解释。

σ 是滤波器的比例。一像素宽的线条是线条还是噪声？ 6 像素宽的线是一条线还是具有两个不同平行边缘的物体？跨 6 或 8 个像素从黑色变为白色的渐变是边缘还是只是渐变？这是你必须决定的事情，σ 的值反映了你的决定 - σ 越大，线条越宽，边缘越平滑，并且忽略更多噪声。

不要混淆滤波器的比例 (σ) 和离散近似值（通常称为模板）的大小。在 Paul 的 链接 中，σ=1.4，模板尺寸为 9。虽然使用 4σ 到 6σ 的模板尺寸通常是合理的，但这两个量是相当独立的。较大的模板可以提供更好的滤波器近似值，但在大多数情况下，您不需要非常好的近似值。

Answer 2

这也让我感到困惑，直到我不得不在一个大学项目中与你做同样的事情时，我才明白你应该用这个公式做什么！

您可以使用此公式生成离散 LoG 滤波器。如果您编写一些代码来实现该公式，则可以生成用于图像卷积的滤波器。要生成 5x5 模板，只需使用 x 和 y 范围从 -2 到 +2 调用代码即可。

这将生成要在 LoG 模板中使用的值。如果您绘制生成的值的图表，您应该会看到此过滤器典型的“墨西哥帽”形状，如下所示：

_{（来源：ed.ac.uk)}

您可以通过更改模板的宽度（大小）和西格玛值（峰的宽度）来微调模板。模板越宽，结果受噪声的影响就越小，因为它将在更广泛的区域内运行。

获得过滤器后，您可以通过将模板与图像进行卷积来将其应用到图像。如果您以前没有这样做过，请查看这几个教程。
Java 小程序教程< /a> 更多数学。

本质上，在每个像素位置，您“放置”卷积模板，以该像素为中心。然后，将周围的像素值乘以模板中相应的“像素”，并将结果相加。这就是该位置的新像素值（通常您还必须标准化（缩放）输出以使其回到正确的值范围）。

下面的代码给出了如何实现这一点的粗略想法。请原谅任何错误/拼写错误等，因为它尚未经过测试。

我希望这有帮助。

private float LoG(float x, float y, float sigma)
{
    // implement formula here
    return (1 / (Math.PI * sigma*sigma*sigma*sigma)) * //etc etc - also, can't remember the code for "to the power of" off hand
}

private void GenerateTemplate(int templateSize, float sigma)
{
    // Make sure it's an odd number for convenience
    if(templateSize % 2 == 1)
    {
        // Create the data array
        float[][] template = new float[templateSize][templatesize];

        // Work out the "min and max" values. Log is centered around 0, 0
        // so, for a size 5 template (say) we want to get the values from
        // -2 to +2, ie: -2, -1, 0, +1, +2 and feed those into the formula.
        int min = Math.Ceil(-templateSize / 2) - 1;
        int max = Math.Floor(templateSize / 2) + 1;

        // We also need a count to index into the data array...
        int xCount = 0;
        int yCount = 0;

        for(int x = min; x <= max; ++x)
        {
            for(int y = min; y <= max; ++y)
            {
                // Get the LoG value for this (x,y) pair
                template[xCount][yCount] = LoG(x, y, sigma);
                ++yCount;
            }
            ++xCount;
        }
    }
}

Answer 3

仅出于可视化目的，这里是高斯拉普拉斯（墨西哥帽）小波的简单 Matlab 3D 彩色图。您可以更改 sigma(σ) 参数并查看其对图形形状的影响：

sigmaSq = 0.5 % Square of σ parameter
[x y] = meshgrid(linspace(-3,3), linspace(-3,3)); 
z = (-1/(pi*(sigmaSq^2))) .* (1-((x.^2+y.^2)/(2*sigmaSq))) .*exp(-(x.^2+y.^2)/(2*sigmaSq)); 
surf(x,y,z)

您还可以执行以下操作来比较 sigma 参数对墨西哥帽的影响：

t = -5:0.01:5;
sigma = 0.5;

mexhat05 = exp(-t.*t/(2*sigma*sigma)) * 2 .*(t.*t/(sigma*sigma) - 1) / (pi^(1/4)*sqrt(3*sigma));

sigma = 1;
mexhat1 = exp(-t.*t/(2*sigma*sigma)) * 2 .*(t.*t/(sigma*sigma) - 1) / (pi^(1/4)*sqrt(3*sigma));

sigma = 2;
mexhat2 = exp(-t.*t/(2*sigma*sigma)) * 2 .*(t.*t/(sigma*sigma) - 1) / (pi^(1/4)*sqrt(3*sigma));

plot(t, mexhat05, 'r', ...
     t, mexhat1, 'b', ...
     t, mexhat2, 'g');

或者简单地使用 Matlab 提供的小波工具箱，如下所示：

lb = -5; ub = 5; n = 1000; 
[psi,x] = mexihat(lb,ub,n); 
plot(x,psi), title('Mexican hat wavelet')

我发现这在计算机视觉中实现边缘检测时很有用。虽然不是确切答案，但希望对您有所帮助。

Answer 4

它看起来是一个连续的圆形滤波器，其半径为 sqrt(2) * sigma。如果你想实现这个图像处理，你需要对其进行近似。

这里有一个 sigma = 1.4 的示例： http://homepages.inf .ed.ac.uk/rbf/HIPR2/log.htm