枫树 13 三对角矩阵帮助

Question

我正在尝试制作一个 100 x 100 三对角矩阵，其中 2 沿着对角线向下，-1 围绕 2。我可以制作一个在三个对角线上只有 1 的三对角矩阵，并预制矩阵加法来得到我想要的，但我想知道是否有一种方法可以将三个对角线自定义为你想要的。 maplehelp 没有列出任何有用的内容。

Answer 1

LinearAlgebra 包中的 Matrix 函数可以使用参数 (init) 来调用，该参数是一个可以根据矩阵的位置为每个条目分配值的函数。
这会起作用：

f := (i, j) -> if i = j then 2 elif abs(i - j) = 1 then -1 else 0; end if;
Matrix(100, f);

Answer 2

LinearAlgebra[BandMatrix] 也可以工作（并且会更快），特别是当您使用 storage=band[1] 时。您可能也应该使用 shape=symmetry 。

Answer 3

涉及初始化函数 f 的答案将为 nxn 方阵做 O(n^2) 工作。理想情况下，此任务应该是 O(n)，因为需要填充的条目少于 3*n。

还假设您想要一个没有任何特殊（例如带）存储或索引功能的结果矩阵（以便您以后可以任意写入它的任何部分）。并且假设您不想通过使用另一个通用 Matrix() 调用包装带结构 Matrix 来解决这样的问题，这将使使用的临时内存加倍并产生可收集的垃圾。

这里有两种方法可以做到这一点（无需以 O(n^2) 方式将 f 应用于每个条目，或使用单独的 do 循环）。第一个涉及创建三个带作为临时对象（这是要收集的垃圾，但至少不是 n^2 大小的垃圾）。

M:=矩阵(100,[[-1$99],[2$100],[-1$99]],scan=band[1,1]);

第二种方法使用一个例程，该例程遍历 M 并仅用三个标量值填充它（因此不需要显式地使用 3 个波段列表）。

M:=矩阵(100):

ArrayTools:-Fill(100,2,M,0,100+1);

ArrayTools:-填充(99,-1,M,1,100+1);

ArrayTools:-填充(99,-1,M,100,100+1);

请注意，ArrayTools:-Fill 是一个已编译的外部例程，因此原则上可能比解释的 Maple 语言（适当的）方法更快。对于具有“float[8]”等硬件数据类型的 Matrix M 来说，速度尤其快。

顺便说一句，上面的箭头过程失败并出现错误“无效箭头过程”的原因很可能是在 2D 数学模式下输入的。 Maple 13 的 2D 数学解析器不将 if...then...end 语法理解为箭头运算符的主体。替代方案（除了像其他人回答的那样将 f 写为过程之外）是在一维 Maple 表示法模式下输入 f （未编辑），或者编辑 f 以使用 if 的运算符形式。也许这里 if 的运算符形式需要嵌套 if 来处理 elif。例如，

f := (i,j) -> `if`(i=j,2,`if`(abs(i-j)=1,-1,0));
Matrix(100,f);

Answer 4

jmbr 提出的解决方案可以适应工作：

f := proc(i, j)
  if i = j then 2
  elif abs(i - j) = 1 then -1
  else 0
  end if
end proc;
Matrix(100, f);

另外，我理解您的评论是说您稍后需要破坏带矩阵性质，这会阻止您使用 BandMatrix - 是这样吗？最简单的解决方案是将 BandMatrix 调用包装在常规 Matrix 调用中，这将为您提供一个可以根据需要进行更改的 Matrix：

 Matrix(LinearAlgebra:-BandMatrix([1,2,1], 1, 100));