是否可以绘制隐式方程？

Question

我想在 Matplotlib 中绘制隐式方程（形式为 f(x, y)=g(x, y) 例如 X^y=y^x）。这可能吗？

Answer 1

既然你用 sympy 标记了这个问题，我就举一个这样的例子。

来自文档： http://docs.sympy.org/latest/modules/plotting.html 。

from sympy import var, plot_implicit
var('x y')
plot_implicit(x*y**3 - y*x**3)

Answer 2

我不相信对此有很好的支持，但您可以尝试类似的方法，

import matplotlib.pyplot
from numpy import arange
from numpy import meshgrid

delta = 0.025
xrange = arange(-5.0, 20.0, delta)
yrange = arange(-5.0, 20.0, delta)
X, Y = meshgrid(xrange,yrange)

# F is one side of the equation, G is the other
F = Y**X
G = X**Y

matplotlib.pyplot.contour(X, Y, (F - G), [0])
matplotlib.pyplot.show()

请参阅 API docs for contour：如果第四个参数是一个序列，那么它指定要绘制哪些等高线。但绘图的好坏取决于范围的分辨率，并且某些特征可能永远不会正确，通常是在自交点处。

Answer 3

matplotlib 不绘制方程；它绘制一系列点。您可以使用诸如 scipy .optimize 之类的工具，根据隐式方程的 x 值（反之亦然）以数字方式计算 y 点，或者使用任意数量的其他适当工具。

---

例如，下面是我在某个区域绘制隐式方程 x ** 2 + x * y + y ** 2 = 10 的示例。

from functools import partial

import numpy
import scipy.optimize
import matplotlib.pyplot as pp

def z(x, y):
    return x ** 2 + x * y + y ** 2 - 10

x_window = 0, 5
y_window = 0, 5

xs = []
ys = []
for x in numpy.linspace(*x_window, num=200):
    try:
        # A more efficient technique would use the last-found-y-value as a 
        # starting point
        y = scipy.optimize.brentq(partial(z, x), *y_window)
    except ValueError:
        # Should we not be able to find a solution in this window.
        pass
    else:
        xs.append(x)
        ys.append(y)

pp.plot(xs, ys)
pp.xlim(*x_window)
pp.ylim(*y_window)
pp.show()

Answer 4

sympy 中有一个隐式方程（和不等式）绘图仪。它是作为 GSoC 的一部分创建的，并以 matplotlib 图实例的形式生成绘图。

文档位于 http://docs.sympy.org/ latest/modules/plotting.html#sympy.plotting.plot_implicit.plot_implicit

自 sympy 版本 0.7.2 起，它可用作：

>>> from sympy.plotting import plot_implicit
>>> p = plot_implicit(x < sin(x)) # also creates a window with the plot
>>> the_matplotlib_axes_instance = p._backend._ax

Answer 5

编辑：如果您使用 plt.plot() 绘制双曲线，那么您将得到不需要的分支效果。 plt.scatter() 代替它应该仍然有效。那么就不需要颠倒负值或正值的顺序，但是如果您出于某种原因想使用此代码（而不是使用 scipy 中的等高线图），它无论如何都可以与 plt.scatter() 一起使用，

一个隐式函数分为两个一般来说，维度可以写为：

f(x,y)=0

由于我们不能将其写为 f(x) = y，因此我们无法从一组易于编程的离散 x 中计算 y。然而，可以看到从网格生成的点与真实函数的接近程度。

因此，将 x 和 y 的网格设置为自定义点密度，然后查看每个点与满足方程的接近程度。

换句话说，如果我们不能得到 f(x,y) =0，也许我们可以接近 0。不是寻找 f(x,y) =0，而是寻找 f(x,y) > 。 -\epsilon 和 f(x,y) < \epsilon。

\epsilon 是您的容差，如果此条件符合您的容差 0 并适当调整网格，您就可以绘制函数。

下面的代码仅针对半径为 1 的圆执行此操作 (f(x,y)= x^2 + y^2 -1 = 0)。我使用符号 dr 来表示 \epsilon。

另外，为了确保 plt.plot 函数以正确的顺序连接线条，我使用 x 值的反转版本作为负 y 值。这样，f(x,y) 的计算是按顺时针循环完成的，以便最接近的值一个接一个地出现。如果没有这个，函数相对两侧的线条就会连接起来，并且看起来会稍微填充。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
r = 1 #arbitrary radius to set up the span of points
points = 250 
dr = r/points #epsilon window 

x=list(np.linspace(-5*r,5*r,5*points+1)) #setting up the x,y grid
y=x

xreversed = reversed(x) #reversing the array

x_0=[] #placeholder arrays
y_0=[]

for i in x:
    for j in y:
        if i**2 + j**2 -1 < dr and i**2+j**2 -1 > -dr  and j >= 0: #positive values of y
            x_0.append(i)
            y_0.append(j)
for i in xreversed:            
    for j in y:
        if i**2+j**2 -1 < dr and i**2+j**2 -1 > -dr  and j < 0: #negative values of y, using x reversed
            x_0.append(i)
            y_0.append(j)

plt.plot(x_0,y_0)
plt.show()

Answer 6

非常感谢史蒂夫、迈克、亚历克斯。我已经同意史蒂夫的解决方案（请参阅下面的代码）。我唯一剩下的问题是等值线图出现在网格线后面，而不是常规图，我可以使用 zorder 将其强制到前面。任何更多半非常感激。

干杯，
格德斯

import matplotlib.pyplot as plt 
from matplotlib.ticker import MultipleLocator, FormatStrFormatter
import numpy as np 

fig = plt.figure(1) 
ax = fig.add_subplot(111) 

# set up axis 
ax.spines['left'].set_position('zero') 
ax.spines['right'].set_color('none') 
ax.spines['bottom'].set_position('zero') 
ax.spines['top'].set_color('none') 
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom') 
ax.yaxis.set_ticks_position('left') 

# setup x and y ranges and precision
x = np.arange(-0.5,5.5,0.01) 
y = np.arange(-0.5,5.5,0.01)

# draw a curve 
line, = ax.plot(x, x**2,zorder=100) 

# draw a contour
X,Y=np.meshgrid(x,y)
F=X**Y
G=Y**X
ax.contour(X,Y,(F-G),[0],zorder=100)

#set bounds 
ax.set_xbound(-1,7)
ax.set_ybound(-1,7) 

#produce gridlines of different colors/widths
ax.xaxis.set_minor_locator(MultipleLocator(0.2)) 
ax.yaxis.set_minor_locator(MultipleLocator(0.2)) 
ax.xaxis.grid(True,'minor',linestyle='-')
ax.yaxis.grid(True,'minor',linestyle='-') 

minor_grid_lines = [tick.gridline for tick in ax.xaxis.get_minor_ticks()] 
for idx,loc in enumerate(ax.xaxis.get_minorticklocs()): 
    if loc % 2.0 == 0:
        minor_grid_lines[idx].set_color('0.3')
        minor_grid_lines[idx].set_linewidth(2)
    elif loc % 1.0 == 0:
        minor_grid_lines[idx].set_c('0.5')
        minor_grid_lines[idx].set_linewidth(1)
    else:
        minor_grid_lines[idx].set_c('0.7')
        minor_grid_lines[idx].set_linewidth(1)

minor_grid_lines = [tick.gridline for tick in ax.yaxis.get_minor_ticks()] 
for idx,loc in enumerate(ax.yaxis.get_minorticklocs()): 
    if loc % 2.0 == 0:
        minor_grid_lines[idx].set_color('0.3')
        minor_grid_lines[idx].set_linewidth(2)
    elif loc % 1.0 == 0:
        minor_grid_lines[idx].set_c('0.5')
        minor_grid_lines[idx].set_linewidth(1)
    else:
        minor_grid_lines[idx].set_c('0.7')
        minor_grid_lines[idx].set_linewidth(1)

plt.show()