Python：哪种方式提供更好的精度

Question

一次赋值:

res=n/k

和 for 循环中的多次赋值:

for i in range(n):
    res+=1/k

之间的精度有什么区别吗？

Answer 1

浮点除法 a/b 不是数学除法 a ÷ b，除非在极少数*情况下。

一般来说，浮点除法a/b为a ÷ b + ε。

确实如此，原因有二。

1. 浮点数（极少数情况除外）是十进制数的近似值。

   a 是 a + εa。

   b 是 b + εb。

   浮点数字使用小数点右侧数字的基数 2 编码。当您编写 3.1 时，它会扩展为以 2 为底的近似值，与实际值略有不同。

   顺便说一句，实数十进制数也有同样的问题。写下 1/3 的小数展开式。哎呀。你必须在某个时候停止写小数位。二进制浮点数也有同样的问题。

2. 除法有固定数量的二进制位数，这意味着答案会被截断。如果存在重复的二进制模式，它就会被截断。在极少数情况下，这并不重要。一般来说，您通过执行除法引入了错误。

因此，当您重复添加 1/k 值时，您正在计算

1 ÷ k + ε

并将它们相加。您的结果（如果范围正确）将为

n × (1 ÷ k + ε) = n > ÷ k + n × ε

您已将小误差 ε 乘以 n。犯了一个大错误。 （除非在极少数情况下。）

这很糟糕。非常糟糕。所有浮点除法都会引入错误。作为程序员，你的工作就是进行代数运算以避免或推迟除法以防止这种情况发生。好的软件设计意味着好的代数可以防止除法运算符引入错误。

[*罕见的情况。在极少数情况下，小误差恰好为零。当您的浮点值是小整数或分数（即两个 1/2、1/4、1/8 等的幂之和）时，会出现极少数情况。在极少数情况下，您有一个良性数字和一个良性小数部分，误差将为零。]

Answer 2

当然，它们是不同的，因为浮点除法的工作原理不同。

>>> res = 0
>>> for x in xrange(5000): res += 0.1
... 
>>> res == 5000 * 0.1
False

Python 官方教程中有很好的解释。

Answer 3

好吧，如果 k 除 n 那么肯定第一个更精确:-) 说实话，如果除法是浮点数并且 n > 1 那么第一个无论如何都会更精确，尽管它们可能会给出不同的结果，正如诺斯克洛所说。

顺便说一句，在 Python 2.6 中，除法默认是整数，所以你会得到非常不同的结果。 1/k 将始终给出 0，除非 k <= 1。

Answer 4

浮点运算存在表示误差和舍入误差。对于浮点数旨在表示合理大小的实数的数据类型，这些错误通常是可以接受的。

如果你想计算两个数字的商，正确的方法就是简单地说 result = n / k （请注意，如果它们都是整数并且你没有说 from __future__ import div< /code>，这不是您所期望的）。第二种方法很愚蠢，容易出错，而且丑陋。

Python 教程中有一些关于浮点不精确性的讨论： http://docs.python.org /tutorial/floatingpoint.html

Answer 5

即使我们善意地假设浮点除法，精度上也肯定存在差异； for 循环执行了 n - 1 次！

assert (n-1) / k != n / k

还取决于在第二种情况下 res 的初始化结果:-)

Answer 6

如果您使用浮点数，当然会有差异，除非您使用的 Python 解释器/编译器能够优化循环（也许 Jython 或 IronPython 可以？C 编译器在这方面非常擅长）。

如果您实际上希望这两种方法具有相同的精度，并且您使用整数作为分子和分母，则可以使用 python 分数 包

from fractions import Fraction
n,k = 999,1000
res = Fraction(0,1)

for i in range(0,n):
    res += Fraction(1,k)

print float(res)