计算 3D 平面多边形的质心

Question

这是一个与此处的问题类似的问题。

给定定义表面的 3D 坐标列表（Point3D1、Point3D2、Point3D3 等），如何计算表面的质心？

在 2D 中，计算由以下公式给出：

3D 模拟怎么样？

Answer 1

只需使用两次方程式，但第二次将 z 替换为 y。

也就是说，计算两个投影的质心，一个投影到 xy 平面上，另一个投影到 xz 平面上。投影的质心将是实际质心的投影，因此答案将是您找到的 x、y 和 z 值这两个计算。

更明确地说：如果您的点是 (x1, y1, z1), (x2, y2, z2),... ，要获得 xy 质心 (Cx, Cy)，请使用 (x1, y1) 进行计算， (x2, y2),... 并获得 xz 质心，(Cx, Cz) 使用点 (x1, z1), (x2, z2),.... - 只需使用相同的值进行第二次计算2D 公式，将 z 值视为方程中的 y。那么您的 3D 质心将为 (Cx, Cy, Cz)。只要表面平坦且不平行于 xy、xz 或 yz 平面（但如果平行，则只是二维方程），此方法就有效。

Answer 2

设逆时针方向的点为 v₀, v₁, ..., v_N，其中 v_i = (x_i, y_i, z_i).

然后是三元组 (v₀, v₁, v₂), (v₀, v ₂, v₃), ..., (v₀, v_i, v_{i+1< /sub>), ..., (v0, vN-1, vN) 形成 N-1 个三角形，从而创建多边形。}

每个三角形的面积为| (v_i - v₀) × (v_i+1 - v₀) | ÷ 2，其中 × 是叉积，| · |是向量长度。

您可能需要将面积设置为负数以补偿凹陷部分。一个简单的检查是计算 (v_i − v₀) × (v_i+1 − v_{0< /sub>) · (v1 - v0) × (v2 - v0).该区域应具有与结果相同的符号。}

由于平行投影下二维图形的面积比是恒定的，因此您可能需要选择不平行于平面的单位向量（例如 z），即 (v_i − v₀) × (v_i+1 − v₀) · z 为面积。这样，您就不需要执行昂贵的平方根，并且符号检查会自动完成。

每个三角形的质心为 (v₀ + v_i + v_i+1) ÷ 3。

因此，假设密度均匀，整个多边形的质心为

                1       N-1
centroid = ——————————    ∑  ( centroid-of-triangle-i × area-of-triangle-i )
           total-area   i=1

（对于尺寸 ≥ 4D，需要使用 A_i = ½ |v_i−v 计算面积₀| v_i+1−v₀| sin θ_i，其中 cos θ_i = (v_i−v₀) · (v_i+1−v₀) ）

Answer 3

如果它是平面，您可以转换为该平面的局部坐标系，使用您提供的公式计算质心，然后转换回来以获得其在 3D 空间中的坐标。