在 C/C++ 中生成遵循正态分布的随机数

Question

如何在 C 或 C++ 中轻松生成遵循正态分布的随机数？

我不想使用Boost。

我知道高德纳详细讨论了这个问题，但我手头现在没有他的书。

Answer 1

有很多方法可以从常规 RNG 生成高斯分布数字。

通常使用 Box-Muller 变换。它正确地生成具有正态分布的值。数学很简单。您生成两个（均匀）随机数，并通过对它们应用公式，您将得到两个正态分布的随机数。返回一个，并保存另一个以供下一次请求随机数时使用。

Answer 2

C++11

C++11 提供 std::normal_distribution，这就是我今天要走的路。

C 或旧版 C++

以下是按复杂性升序排列的一些解决方案：

1. 将 12 个从 0 到 1 的均匀随机数相加，然后减去 6。这将匹配正态变量的平均值和标准差。一个明显的缺点是范围仅限于 ±6 – 与真正的正态分布不同。

2. Box-Muller 变换。这是上面列出的，并且实现起来相对简单。但是，如果您需要非常精确的样本，请注意 Box-Muller 变换与一些统一生成器相结合会遇到称为 Neave Effect¹ 的异常现象。

3. 为了获得最佳精度，我建议绘制制服并应用逆累积正态分布以获得正态分布变量。 这里是非常好的逆累积正态分布算法。

^{1. HR Neave，“关于使用乘法同余伪随机数生成器的 Box-Muller 变换”，应用统计学，22, 92-97, 1973}

Answer 3

一种快速而简单的方法是将多个均匀分布的随机数相加并取平均值。请参阅中心极限定理，了解其工作原理的完整说明。

Answer 4

我创建了一个用于正态分布随机数生成基准的 C++ 开源项目。

比较了几种算法，包括

• 中心极限定理法
• Box-Muller 变换
• Marsaglia 极坐标法
• Ziggurat 算法
• 逆变换采样法。
• cpp11random 使用 C++11 std::normal_distribution 和 std::minstd_rand （实际上是 clang 中的 Box-Muller 变换）。

iMac 上单精度（float）版本的结果[email] ;protected] , clang 6.1, 64 位:

为了正确性，程序验证平均值、标准样本的偏差、偏度和峰度。结果发现，对 4、8 或 16 个均匀数求和的 CLT 方法不像其他方法那样具有良好的峰度。

Ziggurat 算法比其他算法具有更好的性能。然而，它不适合 SIMD 并行，因为它需要查表和分支。具有 SSE2/AVX 指令集的 Box-Muller 比 Ziggurat 算法的非 SIMD 版本快得多（x1.79、x2.99）。

因此，我建议使用 Box-Muller 来构建具有 SIMD 指令集的架构，否则可能会使用 ziggurat。

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PS 该基准测试使用最简单的 LCG PRNG 来生成均匀分布的随机数。因此对于某些应用程序来说它可能不够。但性能比较应该是公平的，因为所有实现都使用相同的 PRNG，因此基准测试主要测试转换的性能。

Answer 5

这是一个基于一些参考文献的 C++ 示例。这又快又脏，你最好不要重新发明和使用 boost 库。

#include "math.h" // for RAND, and rand
double sampleNormal() {
    double u = ((double) rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;
    double v = ((double) rand() / (RAND_MAX)) * 2 - 1;
    double r = u * u + v * v;
    if (r == 0 || r > 1) return sampleNormal();
    double c = sqrt(-2 * log(r) / r);
    return u * c;
}

您可以使用 QQ 图来检查结果并查看它与真实正态分布的近似程度（对样本 1..x 进行排名，将排名转换为 x 总数的比例，即有多少样本，获取 z 值并绘制一条向上的直线就是所需的结果）。

Answer 6

这就是在现代 C++ 编译器上生成示例的方式。

#include <random>
...
std::mt19937 generator;
double mean = 0.0;
double stddev  = 1.0;
std::normal_distribution<double> normal(mean, stddev);
cerr << "Normal: " << normal(generator) << endl;

Answer 7

使用std::tr1::normal_distribution。

std::tr1 命名空间不是 boost 的一部分。它是包含 C++ 技术报告 1 中添加的库的命名空间，并且可在最新的 Microsoft 编译器和 gcc 中使用，独立于 boost。

Answer 8

您可以使用 GSL。给出了一些完整示例来演示如何使用它。

Answer 9

看一下： http://www.cplusplus.com/reference/random/normal_distribution/< /a>.这是生成正态分布的最简单方法。

Answer 10

如果您使用的是 C++11，则可以使用 std::normal_distribution：

#include <random>

std::default_random_engine generator;
std::normal_distribution<double> distribution(/*mean=*/0.0, /*stddev=*/1.0);

double randomNumber = distribution(generator);

还有许多其他分布可以用来转换随机数引擎的输出。

Answer 11

我遵循 http://www.mathworks 中给出的 PDF 定义。 com/help/stats/normal-distribution.html 并提出了这个：

const double DBL_EPS_COMP = 1 - DBL_EPSILON; // DBL_EPSILON is defined in <limits.h>.
inline double RandU() {
    return DBL_EPSILON + ((double) rand()/RAND_MAX);
}
inline double RandN2(double mu, double sigma) {
    return mu + (rand()%2 ? -1.0 : 1.0)*sigma*pow(-log(DBL_EPS_COMP*RandU()), 0.5);
}
inline double RandN() {
    return RandN2(0, 1.0);
}

这可能不是最好的方法，但它非常简单。

Answer 12

comp.lang.c 常见问题解答列表分享了三种不同的方法来轻松生成具有高斯分布的随机数。

你可以看一下： http://c-faq.com/lib/gaussian.html

Answer 13

Box-Muller 实施：

#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
using namespace std;
 // return a uniformly distributed random number
double RandomGenerator()
{
  return ( (double)(rand()) + 1. )/( (double)(RAND_MAX) + 1. );
}
 // return a normally distributed random number
double normalRandom()
{
  double y1=RandomGenerator();
  double y2=RandomGenerator();
  return cos(2*3.14*y2)*sqrt(-2.*log(y1));
}

int main(){
double sigma = 82.;
double Mi = 40.;
  for(int i=0;i<100;i++){
double x = normalRandom()*sigma+Mi;
    cout << " x = " << x << endl;
  }
  return 0;
}

Answer 14

存在多种用于逆累积正态分布的算法。量化金融中最受欢迎的方法在 http:// chasethedevil.github.io/post/monte-carlo-inverse-cumulative-normal-distribution/

在我看来，除了来自 Wichura：它是机器精度、可靠且快速。高斯随机数生成很少出现瓶颈。

这里的最佳答案提倡 Box-Müller，您应该意识到它有已知的缺陷。我引用 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0895717710005935< /a>:

在文献中，Box-Muller 有时被认为稍逊一筹，主要有两个原因。首先，如果将 Box-Muller 方法应用于来自不良线性同余生成器的数字，则变换后的数字提供的空间覆盖率极差。具有螺旋尾部的变换数字图可以在许多书籍中找到，最著名的是里普利的经典著作，他可能是第一个做出这一观察的人”

Answer 15

看看我发现了什么。

此库使用 Ziggurat 算法。

Answer 16

1) 生成高斯随机数的图形直观方法是使用类似于蒙特卡罗方法的方法。您可以使用 C 中的伪随机数生成器在高斯曲线周围的框中生成一个随机点。您可以使用分布方程计算该点是否位于高斯分布内部或下方。如果该点位于高斯分布内，则您将获得高斯随机数作为该点的 x 值。

这种方法并不完美，因为从技术上讲，高斯曲线趋向无穷大，并且您无法创建在 x 维度上接近无穷大的盒子。但高斯曲线在 y 维度上接近 0 的速度非常快，所以我不会担心这一点。 C 中变量大小的限制可能更多地限制了您的准确性。

2）另一种方法是使用中心极限定理，该定理指出，当添加独立随机变量时，它们会形成正态分布。记住这个定理，您可以通过添加大量独立随机变量来近似高斯随机数。

这些方法并不是最实用的，但是当您不想使用预先存在的库时，这是可以预料到的。请记住，这个答案来自于很少或没有微积分或统计经验的人。

Answer 17

蒙特卡罗方法
最直观的方法是使用蒙特卡罗方法。取合适的范围-X、+X。 X 值越大，正态分布越准确，但收敛时间较长。
一个。选择 -X 到 X 之间的随机数 z。
b.保持概率为N(z,mean,variance)，其中N是高斯分布。否则丢弃并返回步骤 (a)。

Answer 18

计算机是确定性设备。计算中不存在随机性。
此外，CPU中的算术装置可以计算某些有限整数集（在有限域中执行计算）和有限实有理数集的和。并且还进行了按位运算。数学需要处理更大的集合，例如具有无限个点的 [0.0, 1.0]。

你可以用一些控制器监听计算机内部的一些电线，但它会有均匀的分布吗？我不知道。但是，如果假设它的信号是大量独立随机变量累加值的结果，那么您将收到近似正态分布的随机变量（这在概率论中得到了证明）

存在称为伪随机生成器的算法。我觉得伪随机生成器的目的是模拟随机性。而善良的标准是：
- 经验分布收敛（在某种意义上 - 逐点、均匀、L2）到理论分布
- 您从随机生成器收到的值似乎是独立的。当然，从“真实的角度”来看这不是真的，但我们假设这是真的。

一种流行的方法 - 你可以对均匀分布的 12 个 irv 求和......但是说实话，在傅里叶变换、泰勒级数的帮助下推导中心极限定理时，需要多次进行 n->+inf 假设。 例如理论 - 就我个人而言，我不明白人们如何执行均匀分布的 12 IRV 之和。

我在大学学过概率论。特别是对我来说，这只是一个数学问题。在大学里我看到了以下模型：

---

double generateUniform(double a, double b)
{
  return uniformGen.generateReal(a, b);
}

double generateRelei(double sigma)
{
  return sigma * sqrt(-2 * log(1.0 - uniformGen.generateReal(0.0, 1.0 -kEps)));
}
double generateNorm(double m, double sigma)
{
  double y2 = generateUniform(0.0, 2 * kPi);
  double y1 = generateRelei(1.0);
  double x1 = y1 * cos(y2);
  return sigma*x1 + m;
}

---

这样的方式如何做它只是一个例子，我想它还存在另一种实现方式。

证明它是正确的可以在这本书中找到
Krishchenko Alexander Petrovich ISBN 5-7038-2485-0

不幸的是，我不知道这本书是否存在英文翻译。