在 3D 中拟合直线

Question

是否有任何算法可以从一组 3D 数据点返回直线方程？我可以找到大量的资料来给出 2D 数据集中的直线方程，但没有一个是 3D 的。

Answer 1

如果您尝试从其他两个值中预测一个值，那么您应该使用 lstsq 和 a 参数作为自变量（加上一列 1 来估计截距） ) 和 b 作为因变量。

另一方面，如果您只想获得数据的最佳拟合线，即如果将数据投影到其上，则该线将最小化真实点与其投影之间的平方距离，那么您想要什么是第一主成分。

定义它的一种方法是，其方向向量是与最大特征值对应的协方差矩阵的特征向量的线，该线穿过数据的平均值。也就是说，eig(cov(data)) 是一种非常糟糕的计算方法，因为它进行了大量不必要的计算和复制，并且可能不如使用 svd 准确。 >。如下所示：

import numpy as np

# Generate some data that lies along a line

x = np.mgrid[-2:5:120j]
y = np.mgrid[1:9:120j]
z = np.mgrid[-5:3:120j]

data = np.concatenate((x[:, np.newaxis], 
                       y[:, np.newaxis], 
                       z[:, np.newaxis]), 
                      axis=1)

# Perturb with some Gaussian noise
data += np.random.normal(size=data.shape) * 0.4

# Calculate the mean of the points, i.e. the 'center' of the cloud
datamean = data.mean(axis=0)

# Do an SVD on the mean-centered data.
uu, dd, vv = np.linalg.svd(data - datamean)

# Now vv[0] contains the first principal component, i.e. the direction
# vector of the 'best fit' line in the least squares sense.

# Now generate some points along this best fit line, for plotting.

# I use -7, 7 since the spread of the data is roughly 14
# and we want it to have mean 0 (like the points we did
# the svd on). Also, it's a straight line, so we only need 2 points.
linepts = vv[0] * np.mgrid[-7:7:2j][:, np.newaxis]

# shift by the mean to get the line in the right place
linepts += datamean

# Verify that everything looks right.

import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d as m3d

ax = m3d.Axes3D(plt.figure())
ax.scatter3D(*data.T)
ax.plot3D(*linepts.T)
plt.show()

它看起来像这样：

Answer 2

如果您的数据表现得相当好，那么找到分量距离的最小平方和应该就足够了。然后您可以找到 z 与 x 无关，然后再次与 y 无关的线性回归。

按照文档示例：

import numpy as np

pts = np.add.accumulate(np.random.random((10,3)))
x,y,z = pts.T

# this will find the slope and x-intercept of a plane
# parallel to the y-axis that best fits the data
A_xz = np.vstack((x, np.ones(len(x)))).T
m_xz, c_xz = np.linalg.lstsq(A_xz, z)[0]

# again for a plane parallel to the x-axis
A_yz = np.vstack((y, np.ones(len(y)))).T
m_yz, c_yz = np.linalg.lstsq(A_yz, z)[0]

# the intersection of those two planes and
# the function for the line would be:
# z = m_yz * y + c_yz
# z = m_xz * x + c_xz
# or:
def lin(z):
    x = (z - c_xz)/m_xz
    y = (z - c_yz)/m_yz
    return x,y

#verifying:
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
zz = np.linspace(0,5)
xx,yy = lin(zz)
ax.scatter(x, y, z)
ax.plot(xx,yy,zz)
plt.savefig('test.png')
plt.show()

如果您想最小化从线（与线正交）到 3 空间中的点（我不确定是否称为线性回归）的实际正交距离。然后我将构建一个计算 RSS 的函数并使用 scipy.optimize 最小化函数来解决它。