最小化包含积分的函数

Question

有谁知道如何在 MATLAB 中最小化包含积分的函数？该函数如下所示：

L = Int(t=0,t=T)[(AR-x)dt], A is a system parameter and R and x are related through:  
dR/dt = axRY - bR, where a and b are constants.  
dY/dt = -xRY

我在某处读到可以组合使用 fminbnd 和quad，但我无法使其工作。有什么建议吗？

Answer 1

也许您可以提供积分的更多详细信息，例如 [AR-x)dt] 中缺少的括号在哪里？ x 是否依赖于 t，或者我们可以整合 dR/dt = axR - bR 得到 R=C* exp((a*xb)*t)?无论如何，要回答有关 fminbnd 和 quad 的问题，您可以设置 A,C,T,a,b,xmin 和 < code>xmax （最后两个是您要查找最小值的范围）并使用：

 [x fval] = fminbnd(@(x) quad(@(t)A*C*exp((a*x-b)*t)-x,0,T),xmin,xmax)

这将找到使积分最小化的 x。

Answer 2

如果我没有理解错的话，你正试图最小化对 t 的尊重：

\int_0^t{(AR-x) dt}

那么你只需要找到以下的零：

AR-x

这只是数学，而不是 matlab ；）

Answer 3

以下是对方程的一些处理，可能会有所帮助。

结合你给出的第二个和第三个方程，

dR/dt = -a*(dY/dt)-bR

现在如果我们求解右侧的 R 并将其代入你给出的第一个方程，我们得到

L = Int(t=0,t=T)[(-A/b*(dR/dt + a*dY/dt) - x)dt]

现在我们可以对第一项进行积分，得到：

L = -A/b*[R(T) - R(0) + Y(T) - Y(0)] - Int(t=0,t=T)[(x)dt]

所以现在所有关于 R 和Y 是端点。事实上，您也可以定义一个新函数 Z，它等于 Y + R。然后您会得到

L = -A/b*[Z(T) - Z(0)] - Int(t=0,t=T)[(x)dt]

下一部分，我对此不太有信心。x 相对于 t 的积分将给出一些在 t 处计算的函数= 0 且 t = T。我们将调用该函数 X 来给出：

L = -A/b*[Z(T) - Z(0)] - X(T) + X(0)

该方程对于所有 T 都成立，因此如果愿意，我们可以将 T 设置为 t。

L = -A/b*[Z(t) - Z(0)] - X(t) + X(0)

另外，我们可以将很多常量组合在一起，并将它们称为 C 来给出

X(t) = -A/b*Z(t) + C

where

C = A/b*Z(0) + X(0) - L

所以我不确定还能做什么，但我已经证明 x(t) 的积分与 Z( t) = R(t) + Y(t)。在我看来，有很多方程可以解决这个问题。还有人知道从这里该去哪里吗？我的数学有问题吗？