有关 (1) / ( b ^ c ) 形式的函数的数学问题

发布于 2024-08-19 03:24:59 字数 488 浏览 10 评论 0原文

我发现遵循 1 / b^c 模式的函数会产生漂亮的曲线，可以很好地与插值函数结合。

我使用该函数的方式是将“c”视为变化值，即 0 和 1 之间的插值，同时改变 b 以获得“清晰度”。我用它来计算 0 和 1 之间的插值，所以一般来说，我使用的函数是这样的：

float interpolationvalue = 1 - 1/pow(100,c);
linearinterpolate( val1, val2, interpolationvalue);

到目前为止，我一直在使用一种黑客方法来使其“工作”，因为当插值值 = 1 时，该值非常接近但不完全是 0。

所以我想知道是否有一个或形式的函数可以重现与 1 / b^c 产生的曲线相似的曲线，其中 c = 0结果 = 1 且 c = 1 结果 = 0。

甚至 C = 0、结果 = 0 且 C = 1 结果 = 1。

感谢您的帮助！

原文

I've found functions which follow the pattern of 1 / b^c produce nice curves which can be coupled with interpolation functions really nicely.

The way I use the function is by treating 'c' as the changing value, i.e. the interpolation value between 0 and 1, while varying b for 'sharpness'. I use it to work out an interpolation value between 0 and 1, so generelly the function I use is as such:

float interpolationvalue = 1 - 1/pow(100,c);
linearinterpolate( val1, val2, interpolationvalue);

Up to this point I've been using a hacked approach to make it 'work' since when interpolation value = 1 the value is very close to but not quite 0.

So I was wondering, is there a function in the form of or one which can reproduce similar curves to the ones produced by 1 / b^c where at c = 0 result = 1 and c = 1 result = 0.

Or even C = 0, result = 0 and C = 1 result = 1.

Thanks for any help!

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云醉月微眠 2024-08-26 03:24:59

对于插值，提供最大灵活性的方法是使用样条线，在您的情况下，二次样条线似乎就足够了。维基百科页面包含大量数学内容，但您可以在谷歌上找到改编的描述。

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故乡的云 2024-08-26 03:24:59

1 - c ^ b 的 b 值较小？另一种选择是使用三次多项式并指定 0 和 1 处的斜率。

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偷得浮生 2024-08-26 03:24:59

您可以使用 A - 1 / b^(c + a) 形式的类似曲线，选择 A 和 a 的值来匹配你的限制。因此，对于 c = 0, result = 1:

1 = A - 1/b^a   =>   A = 1 + 1/b^a

和对于 c = 1, result = 0:

0 = A - 1/b^(1+a)  =>  A = 1/b^(1+a)

组合这些，我们可以在以下位置找到 a b 的条款：

1 + 1/b^a = 1/b^(1+a)
b^(1+a) + b = 1
b * (b^a - 1) = 1
b^a = 1/b - 1

所以：

a = log_b(1/b - 1) = log(1/b - 1) / log(b)
A = 1 + 1/b^a = 1 / (1-b)

You could use a similar curve of the form A - 1 / b^(c + a), choosing values of A and a to match your constraints. So, for c = 0, result = 1:

1 = A - 1/b^a   =>   A = 1 + 1/b^a

and for c = 1, result = 0:

0 = A - 1/b^(1+a)  =>  A = 1/b^(1+a)

Combining these, we can find a in terms of b:

1 + 1/b^a = 1/b^(1+a)
b^(1+a) + b = 1
b * (b^a - 1) = 1
b^a = 1/b - 1

So:

a = log_b(1/b - 1) = log(1/b - 1) / log(b)
A = 1 + 1/b^a = 1 / (1-b)

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山色无中 2024-08-26 03:24:59

在数学家使用的实数中，您指定的形式的函数不会返回 0，除法不能做到这一点。 (1/x)==0 没有实数解。在浮点算术中，计算机使用的实际算术关系很差，您可以编写 1/(MAX_FP_VALUE^1) ，这将为您提供尽可能接近 0 的值（实际上，它可能会给您一个 NaN 或IEEE 754 允许的其他奇数返回之一）。

而且，我相信您已经注意到，1/(b^0) 始终返回 1，因为根据 0 次方的定义，b^0 始终为 1。

因此，c = 0 的函数不会产生结果为 0。

对于 c = 1，结果 = 1，设置 b = 1

但我想这只是部分答案，我不太确定我理解你想要做什么。

问候

马克

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