如何建立射线/球体相交的二次方程？

Question

我正在研究光线追踪器的数学原理，但我并没有遵循我读过的关于该主题的几乎每一篇文章中所做的转变。这就是我所拥有的：

球体公式：

(X - Cx)^2 + (Y - Cy)^2 + (Z - Cz)^2 - R^2 = 0

其中 R 是半径，C 是中心，X、Y、Z 都是球体内的点。

直线公式：

X + DxT、Y + DyT、Z + DzT

其中 D 是直线的归一化方向向量，X、Y、Z 是直线上的所有点，T 是直线上某个点的参数线。

将直线的分量代入球方程，可得：

(X + DxT - Cx)^2 + (Y + DyT - Cy)^2 + (Z + DzT - Cz)^2 - R^2 = 0

我遵循了这一点之前的所有内容（至少我认为我这样做了），但是我读过的每一篇教程都会从它跳转到二次方程而不解释它（这是从一个网站复制的，所以术语是与我的示例略有不同）：

A = Xd^2 + Yd^2 + Zd^2

B = 2 * (Xd * (X0 - Xc) + Yd * (Y0 - Yc) + Zd * (Z0 - Zc))

C = (X0 - Xc)^2 + (Y0 - Yc)^2 + (Z0 - Zc)^2 - Sr^2

我知道如何使用二次公式求解 T，但我不明白它们是如何解决的由上式可得二次方程。我假设这只是我早已忘记的一些常见数学知识，但在谷歌上搜索“如何建立二次方程”也没有真正产生任何结果。

我真的很想在继续之前了解如何完成这一步，因为我不喜欢编写我不完全掌握的代码。

Answer 1

以下是每个步骤的详细演练；希望这会让事情变得清晰。三维球体的方程为：

(xa)^2 + (yb)^2 + (zc)^2 = r^2

其中 是球体的中心，r 是球体的半径。如果点 满足该方程，则它位于球体上。

射线的参数方程为：

• X = xo + xd*t
• Y = yo + yd*t
• Z = zo + zd*t

其中 是射线的原点， 是相机射线的方向。

为了找到交点，我们想要看看射线上的哪些点与球体上的点相同。所以我们将射线方程代入球体方程：

(xo + xd*t - a)^2 + (yo + yd*t - b)^2 + (zo + zd*t - c)^2 = r^2

扩展为：

  (xd^2 + yd^2 + zd^2)                              * t^2 +
  [2[xd * (xo - a) + yd * (yo - b) + zd *(zo - c)]] * t   +
  [(xo - a)^2 + (yo - b)^2 + (zo - c^)2 - r^2]      * 1
  = 0

请注意，这是一个形式为 At^2 + Bt + C = 0 的二次方程，其中：

• A = (xd^2 + yd^2 + zd^2)
• B = [2[xd * (xo - a) + yd * (yo - b) + zd *(zo - c)]]
• < code>C = [(xo - a)^2 + (yo - b)^2 + (zo - c^)2 - r^2]

我们可以应用未知变量的一般二次公式，即是：

t = [-B +- sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A

B^2 - 4AC 部分称为“判别式”。根据判别式的值，我们将得到该方程的零个、一个或两个解：

• 如果小于零，则解为虚数，并且射线和球体在实数中不相交

• 如果它等于 0，那么光线正好在 1 点处与球体相交（它与球体正好相切）。

  如果它等于

• 如果它大于零，则光线正好在 2 个点处与球体相交。

如果判别式表明没有解决方案，那么您就完成了！射线不与球体相交。如果判别式指示至少一个解，您可以求解 t 以确定交点。这两个解是：

t_1 = [-B + sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A
t_2 = [-B - sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A

较小的解是光线第一次撞击球体的点。

Answer 2

从这里开始：

(X + DxT - Cx)^2 + (Y + DyT - Cy)^2 + (Z + DzT - Cz)^2 - R^2 = 0

展开三个平方项，因此您有一个很长的表达式：（

X^2 + Dx^2T^2 + Cx^2 + 2XDxT - 2XCx - 2DxTCx + ...... = 0

这是由于使用公式 (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)

然后分组，得到 T^2、T 和 1 的因子：

(....)T^2 + (....)T + .... = 0

这些因子是上面给出的 A、B、C。这是 T 的二次方程，可以使用二次公式求解。