FFT结果的大小取决于波频率？

Question

我对 FFT 得到的结果感到困惑，希望得到任何帮助。

我正在使用 FFTW 3.2.2，但使用其他 FFT 实现（在 Java 中）也得到了类似的结果。当我对正弦波进行 FFT 时，结果的缩放取决于波的频率 (Hz)，特别是它是否接近整数。当频率接近整数时，结果值会缩放得非常小；而当频率在整数之间时，结果值会大几个数量级。 该图显示了 FFT 结果中对应于的尖峰幅度波的频率，对于不同的频率。这是对的吗？

我查了一下FFT的逆FFT等于原始正弦波乘以样本数，确实如此。 FFT 的形状似乎也是正确的。

如果我分析单个正弦波，情况也不会那么糟糕，因为我可以在 FFT 中寻找尖峰，而不管其高度如何。问题是我想分析正弦波的总和。如果我分析 440 Hz 和 523.25 Hz 的正弦波之和，则只会显示 523.25 Hz 的尖峰。另一个的尖峰非常小，看起来就像噪音。一定有某种方法可以实现这一点，因为在 Matlab 中它确实有效——我在两个频率上都得到了类似大小的尖峰。如何更改下面的代码以均衡不同频率的缩放？

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath> 
#include <fftw3.h>
#include <cstdio>
using namespace std; 

const double PI = 3.141592;

/* Samples from 1-second sine wave with given frequency (Hz) */
void sineWave(double a[], double frequency, int samplesPerSecond, double ampFactor); 

int main(int argc, char** argv) {

 /* Args: frequency (Hz), samplesPerSecond, ampFactor */
 if (argc != 4)  return -1; 
 double frequency  = atof(argv[1]); 
 int samplesPerSecond = atoi(argv[2]); 
 double ampFactor  = atof(argv[3]); 

 /* Init FFT input and output arrays. */
 double * wave = new double[samplesPerSecond]; 
 sineWave(wave, frequency, samplesPerSecond, ampFactor); 
 double * fftHalfComplex = new double[samplesPerSecond]; 
 int fftLen = samplesPerSecond/2 + 1; 
 double * fft = new double[fftLen]; 
 double * ifft = new double[samplesPerSecond]; 

 /* Do the FFT. */
 fftw_plan plan = fftw_plan_r2r_1d(samplesPerSecond, wave, fftHalfComplex, FFTW_R2HC, FFTW_ESTIMATE);
 fftw_execute(plan); 
 memcpy(fft, fftHalfComplex, sizeof(double) * fftLen); 
 fftw_destroy_plan(plan);

 /* Do the IFFT. */
 fftw_plan iplan = fftw_plan_r2r_1d(samplesPerSecond, fftHalfComplex, ifft, FFTW_HC2R, FFTW_ESTIMATE); 
 fftw_execute(iplan); 
 fftw_destroy_plan(iplan);

 printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]); 
 for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
  printf("\t%.6f", wave[i]); 
 }
 printf("\n"); 
 printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]); 
 for (int i = 0; i < fftLen; i++) {
  printf("\t%.9f", fft[i]); 
 }
 printf("\n"); 
 printf("\n"); 
 printf("%s,%s,%s", argv[1], argv[2], argv[3]); 
 for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
  printf("\t%.6f (%.6f)", ifft[i], samplesPerSecond * wave[i]);  // actual and expected result
 }

 delete[] wave; 
 delete[] fftHalfComplex; 
 delete[] fft; 
 delete[] ifft; 
}

void sineWave(double a[], double frequency, int samplesPerSecond, double ampFactor) {
 for (int i = 0; i < samplesPerSecond; i++) {
  double time = i / (double) samplesPerSecond; 
  a[i] = ampFactor * sin(2 * PI * frequency * time); 
 }
}

Answer 1

当频率接近整数时，结果值会缩放得非常小，而当频率在整数之间时，结果值会大几个数量级。

这是因为快速傅里叶变换假设输入是周期性的并且无限重复。如果您有非整数个正弦波，并且重复此波形，则它不是完美的正弦波。这会导致 FFT 结果受到“频谱泄漏”的影响。

请查看窗口函数。这些会衰减开始和结束时的输入，从而减少频谱泄漏。

ps：如果您想获得基波附近的精确频率内容，请捕获大量波浪周期，并且不需要每个周期捕获太多点（每个周期 32 或 64 个点可能就足够了）。如果您想获得高次谐波的精确频率内容，请捕获较少数量的周期，并在每个周期捕获更多点。

Answer 2

我只能建议你看看 GNU Radio 代码。您可能特别感兴趣的文件是 usrp_fft.py。