计算贝塞尔样条曲线以从一个点到另一个点

Question

我在 X,Y + 旋转中有 2 个点，我需要计算平滑连接这 2 个点的贝塞尔样条线（二次贝塞尔曲线的集合）。 （见图）点代表游戏中只能缓慢旋转的单位。所以从A点到B点，必须走很长的路。附图显示了一条相当夸张的弯曲路径，但你明白了。

我可以使用什么公式来计算这样的贝塞尔样条线？

Answer 1

刚刚看到我误解了你的问题。你不能使用单个 三次 Hermite 样条 来代替，因为你有一个起点和终点以及两个方向（切线）？有任何额外的限制吗？

要计算起点和终点切线，只需使用起点和终点方向，并根据起点和终点之间的距离缩放它们（另外还有一些其他常数因子，例如 0.5，具体取决于您希望路径的弯曲程度）。：

p0 = startpoint;
p1 = endpoint;
float scale = distance(p0, p1);
m0 = Vec2(cos(startangle), sin(startangle)) * scale;
m1 = Vec2(cos(endangle), sin(endangle)) * scale;

我使用这个系统可以在我正在开发的游戏中插入相机路径，并且效果很好。

Answer 2

您可能知道，即使我们假设有 2 个控制点，也有无限的解。

我发现 使用贝塞尔曲线的平滑算法，它回答了您的问题（请参阅开头的 Bx(t) 和 By(t) 方程）：

B_x(t) = (1-t)³ P_1x + 3(1-t)² t  P_2x + 3 (1-t) t² P_3x + t³ P_4x

B< sub>y(t) = (1-t)³ P_1y + 3(1-t)² t  P_2y + 3 (1-t) t² P_3y + t ³ P_4y

P₁ 和 P₄ 是您的端点，P₂ 和P₃ 是控制点，您可以沿着所需的角度自由选择。如果控制点与点 (x, y) 的距离为 r，且沿角度 θ，则该点的坐标为：

x' = x - r sin( θ)

y' = y - r cos(θ)

（根据您使用的坐标系 - 我认为我的符号是正确的）。唯一的免费参数是r，您可以根据需要选择。您可能想使用

r = α dist(P₁, P₄)

且 α _1.

Answer 3

我不记得我从哪里得到它，但我一直在使用这个：

Vector2 CalculateBezierPoint(float t, Vector2 p0, Vector2 p1, Vector2 p2, Vector2 p3)
{
      float u = 1 - t; 
      float tt = t*t;
      float uu = u*u;
      float uuu = uu * u;
      float ttt = tt * t;

      Vector2 p = uuu * p0; //first term
      p += 3 * uu * t * p1; //second term
      p += 3 * u * tt * p2; //third term
      p += ttt * p3; //fourth term

      return p;
}

其中 t 是沿起点和终点之间的路径的比率。