如何赢得这场比赛？

Question

支持我们有一个 n * m 的桌子，两个玩家玩这个游戏。他们依次排除细胞。玩家可以选择一个单元格 (i, j) 并排除从 (i,j) 到 (n, m) 的所有单元格，排除最后一个单元格的人输游戏。

例如，在3*5的棋盘上，玩家1排除了(3,3)到(3,5)的单元格，玩家2排除了(2,5)到(3,5)的棋盘，当前棋盘是这样的： （O 表示该单元格未被排除，而 x 表示该单元格已被排除）

3 O O x x x
2 O O O O x
1 O O O O O
  1 2 3 4 5

并且在玩家 1 排除了从 (2,1) 到 (3,5) 的单元格后，棋盘变为

3 x x x x x
2 x x x x x
1 O O O O O
  1 2 3 4 5

现在玩家 2 排除了来自 (1, 2) 到 (3,5)，只留下 (1,1) 干净：

3 x x x x x
2 x x x x x
1 O x x x x
  1 2 3 4 5

因此玩家 1 必须排除唯一的 (1,1) 单元格，因为一名玩家必须在一轮中排除至少一个单元格，他输了比赛。

显然，在 n*n、1*n 和 2*n（n >= 2）种情况下，先玩的人获胜。

我的问题是，玩家是否有任何策略可以在所有情况下赢得比赛？他应该先上场吗？

PS

我认为这与动态规划或分而治之等策略有关，但尚未得出结论。所以我把它贴在这里。

答案

感谢sdcwc's link。对于大于 1*1 的桌子，第一个玩家将获胜。证明如下：（借自wiki页面）

事实证明，对于任何矩形 起始位置大于 1 × 1 第一个玩家可以获胜。这可以是 使用策略窃取显示 论证：假设第二个玩家 对任何人都有制胜策略 最初的第一个玩家移动。那么假设， 第一个玩家只拿走 右下角的正方形。由我们的 假设，第二个玩家有 对此的回应将迫使 胜利。但如果这样的胜利 响应存在，第一个玩家可以 已将其作为他的第一步并且 从而强行取得胜利。第二位玩家 因此无法获胜 策略。

并且 Zermelo 定理 确保了这样的存在制胜策略。

Answer 1

该游戏称为 Chomp。第一个玩家获胜，请参阅他的策略链接（非建设性）。

Answer 2

这是一个 Python 程序，如果允许先运行，它将在大于 1x1 的主板上获胜（但对于大于 10x10 的主板来说速度相当慢）：

class State(object):
    """A state is a set of spaces that haven't yet been ruled out.
    Spaces are pairs of integers (x, y) where x and y >= 1."""

    # Only winnable states in this dictionary:
    _next_moves = {}
    # States where any play allows opponent to force a victory:
    _lose_states = set()

    def __init__(self, spaces):
        self._spaces = frozenset(spaces)

    @classmethod
    def create_board(cls, x, y):
        """Create a state with all spaces for the given board size."""
        return State([(r+1, c+1) for r in xrange(x) for c in xrange(y)])

    def __eq__(self, other):
        return self._spaces == other._spaces

    def __hash__(self):
        return hash(self._spaces)

    def play(self, move):
        """Returns a new state where the given move has been played."""
        if move not in self._spaces:
            raise ValueError('invalid move')
        new_spaces = set()
        for s in self._spaces:
            if s[0] < move[0] or s[1] < move[1]:
                new_spaces.add(s)
        return State(new_spaces)

    def winning_move(self):
        """If this state is winnable, return a move that guarantees victory."""
        if self.is_winnable() and not self.is_empty():
            return State._next_moves[self]
        return None

    def random_move(self):
        import random
        candidates = [m for m in self._spaces if m[0] > 1 and m[1] > 1]
        if candidates: return random.choice(candidates)
        candidates = [m for m in self._spaces if m[0] > 1 or m[1] > 1]
        if candidates: return random.choice(candidates)
        return (1,1)

    def minimal_move(self):
        """Return a move that removes as few pieces as possible."""
        return max(self._spaces, key=lambda s:len(self.play(s)._spaces))

    def is_winnable(self):
        """Return True if the current player can force a victory"""
        if not self._spaces or self in State._next_moves:
            return True
        if self in State._lose_states:
            return False

        # Try the moves that remove the most spaces from the board first
        plays = [(move, self.play(move)) for move in self._spaces]
        plays.sort(key=lambda play:len(play[1]._spaces))
        for move, result in plays:
            if not result.is_winnable():
                State._next_moves[self] = move
                return True
        # No moves can guarantee victory
        State._lose_states.add(self)
        return False

    def is_empty(self):
        return not self._spaces

    def draw_board(self, rows, cols):
        string = []
        for r in xrange(rows, 0, -1):
            row = ['.'] * cols
            for c in xrange(cols):
                if (r, c+1) in self._spaces:
                    row[c] = 'o'
            string.append(('%2d ' % r) + ' '.join(row))
        string.append('  ' + ''.join(('%2d' % c) for c in xrange(1, cols+1)))
        return '\n'.join(string)

    def __str__(self):
        if not self._spaces: return '.'
        rows = max(s[0] for s in self._spaces)
        cols = max(s[1] for s in self._spaces)
        return self.draw_board(rows, cols)

    def __repr__(self):
        return 'State(%r)' % sorted(self._spaces)

def run_game(x, y):
    turn = 1
    state = State.create_board(x, y)
    while True:
        if state.is_empty():
            print 'Player %s wins!' % turn
            return
        if state.is_winnable():
            move = state.winning_move()
        else:
            move = state.random_move()
        state = state.play(move)
        print 'Player %s plays %s:' % (turn, move)
        print state.draw_board(x, y)
        print
        turn = 3 - turn

def challenge_computer(x, y):
    state = State.create_board(x, y)
    print "Your turn:"
    print state.draw_board(x, y)
    while True:
        # Get valid user input
        while True:
            try:
                move = input('Enter move: ')
                if not (isinstance(move, tuple) and len(move) == 2):
                    raise SyntaxError
                state = state.play(move)
                break
            except SyntaxError, NameError:
                print 'Enter a pair of integers, for example: 1, 1'
            except ValueError:
                print 'Invalid move!'
            except (EOFError, KeyboardInterrupt):
                return
        print state.draw_board(x, y)
        if state.is_empty():
            print 'Computer wins!'
            return
        if state.is_winnable():
            move = state.winning_move()
        else:
            move = state.minimal_move()
        state = state.play(move)
        print
        print 'Computer plays %s:' % (move,)
        print state.draw_board(x, y)
        print
        if state.is_empty():
            print 'You win!'
            return

if __name__ == '__main__':
    challenge_computer(8, 9)

示例运行的输出：

$ python -c 'import game; game.run_game(8, 9)'
Player 1 plays (6, 7):
 8 o o o o o o . . .
 7 o o o o o o . . .
 6 o o o o o o . . .
 5 o o o o o o o o o
 4 o o o o o o o o o
 3 o o o o o o o o o
 2 o o o o o o o o o
 1 o o o o o o o o o
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 2 plays (4, 8):
 8 o o o o o o . . .
 7 o o o o o o . . .
 6 o o o o o o . . .
 5 o o o o o o o . .
 4 o o o o o o o . .
 3 o o o o o o o o o
 2 o o o o o o o o o
 1 o o o o o o o o o
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 1 plays (5, 1):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 o o o o o o o . .
 3 o o o o o o o o o
 2 o o o o o o o o o
 1 o o o o o o o o o
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 2 plays (3, 7):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 o o o o o o . . .
 3 o o o o o o . . .
 2 o o o o o o o o o
 1 o o o o o o o o o
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 1 plays (4, 1):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 . . . . . . . . .
 3 o o o o o o . . .
 2 o o o o o o o o o
 1 o o o o o o o o o
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 2 plays (2, 3):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 . . . . . . . . .
 3 o o . . . . . . .
 2 o o . . . . . . .
 1 o o o o o o o o o
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 1 plays (1, 5):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 . . . . . . . . .
 3 o o . . . . . . .
 2 o o . . . . . . .
 1 o o o o . . . . .
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 2 plays (2, 2):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 . . . . . . . . .
 3 o . . . . . . . .
 2 o . . . . . . . .
 1 o o o o . . . . .
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 1 plays (1, 4):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 . . . . . . . . .
 3 o . . . . . . . .
 2 o . . . . . . . .
 1 o o o . . . . . .
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 2 plays (2, 1):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 . . . . . . . . .
 3 . . . . . . . . .
 2 . . . . . . . . .
 1 o o o . . . . . .
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 1 plays (1, 2):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 . . . . . . . . .
 3 . . . . . . . . .
 2 . . . . . . . . .
 1 o . . . . . . . .
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 2 plays (1, 1):
 8 . . . . . . . . .
 7 . . . . . . . . .
 6 . . . . . . . . .
 5 . . . . . . . . .
 4 . . . . . . . . .
 3 . . . . . . . . .
 2 . . . . . . . . .
 1 . . . . . . . . .
   1 2 3 4 5 6 7 8 9

Player 1 wins!

Answer 3

我想到的一件事是：如果棋盘是 2x2，则第一个玩家输了：事实上，从这个棋盘来看：

O O 
O O

有两种变化（a 和 b）：

a.1）

1 1
O O

a.2）第一个玩家输了

1 1
O 2

，或者，b。 1)

1 O
O O

b.2) 第一个玩家输了，

1 2
O 2

此时该策略归结为迫使棋盘变成 2x2 的平方；那么，第一个进入该棋盘的人将失去它。这将引导您进入策略的第二步，主要是：

如何确保您不是进入此类配置的人？

或者，

有多少配置可以引导我获得这样的配置配置，从更大的开始？例如，从3x3棋盘开始：

O O O
O O O
O O O

有多种策略，取决于谁先开始以及有多少个无效；我建议，此时，使用遗传算法来探索最佳解决方案（这很有趣！相信我）:)

Answer 4

这类似于经常玩的比赛游戏（不记得名字了）

无论如何，我认为这取决于棋盘的形状谁会获胜。 2*2 对于第二个玩家来说是微不足道的失败，而 2 * N 对于第一个玩家来说是微不足道的失败，因为通过将棋盘减少到 2*2 并迫使另一个玩家玩。我认为所有方形板都是第二个玩家获胜，而矩形是第一个玩家获胜，但尚未证明这一点

编辑：

好的我认为这是对于方形板 p1 总是选择 2,2 然后平衡行和列
确保 p2 输掉，

就像 sdcwc 的评论一样，矩形板也是第一个玩家获胜。只有退化棋盘 1 * 1 才是第二位玩家获胜