在 Haskell 中实现因式分解方法

Question

我正在 Project Euler 上做 问题 266 并经过一些搜索，发现这个方法快速找出一个数的因数。你要做的就是找到一个数的质因数的所有排列：这些就是它的因数。

我已经有一个模块来查找数字的素数功率因数，例如：

Main> primePowerFactors 196
[(2,2),(7,2)]

这基本上表明：2^2 * 7^2 == 196。从这里我想找到这些幂的所有排列，从而给出 196 的因子：

• (2^0)(7^0) = 1
• (2^1)(7^0) = 2
• (2^2) (7^0) = 4
• (2^0)(7^1) = 7
• (2^1)(7^1) = 14
• (2^2)(7^1) = 28
• (2^0)(7 ^2) = 49
• (2^1)(7^2) = 98

我想出了以下结果：

factors n = [a|a<-map facs (primePowerFactors n), y <- [0..(snd $ last $ primePowerFactors n)]]
 where 
  facs (x,y) = (x,y)   
rSq n = toInteger $ round $ sqrt (fromInteger n)    
psr n = last $ dropWhile (<= rSq n) $ factors n
p = foldl' (*) 1 $ takeWhile (< 190) primes
answer = (psr p) `mod` (10^16)

但我的问题是 factors 无法正常工作。我希望它对每个质因数的所有可能的指数值进行排列，然后找到给出该因数的乘积。如何修改它以返回 n 的因子？

Answer 1

对于一些高尔夫代码，我编写了一个非常简单的很好的幂集函数。

powerSet [] = []
powerSet (x:xs) = xs : map (x:) (powerSet xs) ++ (powerSet xs)

该算法的一个缺陷是它不包括原始集，但这对您来说是完美的，因为它看起来不像您想要的。

将此与将您的primePowerFactors n 转换为整数列表的方法相结合，假设

ppfToList = concatMap (\(x,y)->replicate y x)

使用这些助手，可以使用数字n 生成因子列表

factors n = nub . map product . powerSet . ppfToList . primePowerFactors $ n
-- will be out of order, you can add a call to `sort` to fix that

这种算法可能有点难用列表理解的方式表达。

Answer 2

首先，facs 是恒等函数：

facs (x,y) = (x,y)

y 绑定在左侧的模式匹配中，而您可能希望它是 y< /code> 来自列表理解。列表推导式中绑定的变量名称是该推导式的本地变量名称，不能在不同的范围（如 where 子句）中使用。

此外，列表推导式中的 y 仅根据最后一个因子的指数计算：

y <- [0..(snd $ last $ primePowerFactors n)]

对于每个因子，应考虑其自身的指数，而不仅仅是最后一个因子的指数。

一个更基本的问题是，factors 函数的返回类型似乎与它的意图不符：

*Euler> :t factors
factors :: Integer -> [(Integer, Int)]

这返回质因数的幂列表，而它应该生成这些构造的列表，例如this：

[
   [(2,0), (7,0)],
   [(2,1), (7,0)],
   [(2,2), (7,0)],
   [(2,0), (7,1)],
   [(2,1), (7,1)],
   ...
]

需要对所有可能的因子进行素因数分解，但该函数似乎只返回一个素因数分解。