用 C++ 表示概率

Question

我试图用 C++ 表示一组简单的 3 个概率。例如：（

a = 0.1  
b = 0.2  
c = 0.7

据我所知概率加起来必须为 1）

我的问题是，当我尝试在 C++ 中将 0.7 表示为浮点数时，我最终得到 0.69999999，这在我稍后进行计算时不会有帮助。 0.8、0.80000001 也是如此。

在 C++ 中是否有更好的方法来表示 0.0 到 1.0 之间的数字？

请记住，这与数字在内存中的存储方式有关，因此当对它们是否正确的值进行测试时，我不关心它们如何显示/打印出来。

Answer 1

这与 C++ 无关，而与浮点数在内存中的表示方式有关。您永远不应该使用相等运算符来比较浮点值，请参阅此处以获取更好的方法： http://www.cygnus-software.com/papers/comparingfloats/comparingfloats.htm

Answer 2

我的问题是，当我尝试
在 C++ 中将 0.7 表示为浮点数 I end
最多 0.69999999，这没有帮助
当我稍后进行计算时。
0.8 相同，0.80000001。

真的有问题吗？如果您只需要更高的精度，请使用双精度而不是浮点数。这应该可以得到大约 15 位数字的精度，对于大多数工作来说已经足够了。

考虑您的源数据。 0.7 真的比 0.69999999 更正确吗？

如果是这样，您可以使用有理数库，例如：

http ://www.boost.org/doc/libs/1_40_0/libs/rational/index.html

如果问题是根据定义概率加起来为 1，则将它们存储为数字集合，忽略最后一张。通过从 1 中减去其他值的总和来推断最后一个值。

Answer 3

您需要多少精度？您可能会考虑缩放值并以定点表示形式对它们进行量化。

Answer 4

您想要对您的数字进行的测试将是不正确的。

对于像 0.1 这样的数字，在以 2 为基数的数字系统中没有精确的浮点表示，因为它是无限周期数。考虑三分之一，在以 3 为基数的系统中可以精确地表示为 0.1，但在以 10 为基数的系统中则可以表示为 0.333...。

因此，您使用浮点数字 0.1 进行的任何测试都容易出现缺陷。

一个解决方案是使用有理数（boost 有一个有理库），它对于有理数总是精确的，或者使用自制的以 10 为底的系统，将数字乘以 10 的幂。

Answer 5

如果您确实需要精度，并且坚持使用有理数，我想您可以使用定点算术。我以前没有这样做过，所以我不能推荐任何库。

或者，您可以在比较 fp 数字时设置一个阈值，但您必须在一侧或另一侧犯错误 - 请

bool fp_cmp(float a, float b) {
    return (a < b + epsilon);
}

注意，在每次计算中都会自动截断多余的精度，因此在以许多不同的顺序进行操作时应该小心算法中的大小。一个人为的例子来说明：

a = 15434355e10 + 22543634e10
b = a / 1e20 + 1.1534634
c = b * 1e20

vs

c = b + 1.1534634e20

两者的结果会非常不同。使用第一种方法，前两个数字的许多精度将在除以 1e20 时丢失。假设您想要的最终值约为 1e20，则第二种方法将为您提供更高的精度。

Answer 6

如果您只需要几位精度，则只需使用整数。如果您需要更好的精度，那么您将不得不寻找提供精度保证的不同库。

Answer 7

这里的问题是浮点数存储在基数 2 中。您不能用基数 2 的浮点数精确表示基数 10 的小数。

让我们退后一步。 .1 是什么意思？还是.7？它们意味着 1x10^-1 和 7x10^-1。如果您使用 二进制 作为您的号码，而不是像我们通常那样以 10 为基数，. 1 表示 1x2^-1 或 1/2。 .11 表示 1x2^-1 + 1x2^-2，或 1/2+1/4，或 3/4。

请注意，在这个系统中，分母始终是 2 的幂。如果分母不为 2 的幂，则无法用有限位数表示一个数字。例如，.1（十进制）表示 1/10，但在二进制中表示无限重复分数，0.000110011...（0011 模式永远重复）。这类似于在 10 进制中，1/3 是无限分数，0.3333....；以 10 为底只能精确地表示分母为 2 和 5 的倍数的数字。（顺便说一句，以 12 为底和以 60 为底实际上是非常方便的底数，因为 12 可以被 2、3 和 4 整除，并且60 可以被 2、3、4 和 5 整除；但出于某种原因，我们无论如何都使用十进制，而在计算机中我们使用二进制）。

由于浮点数（或定点数）的位数总是有限的，因此它们无法准确地表示这些无限重复的分数。因此，它们要么截断或四舍五入值，使其尽可能接近真实值，但并不完全等于真实值。一旦开始将这些舍入值相加，就会开始出现更多错误。以十进制表示，如果 1/3 的表示形式是 0.333，那么它的三个副本加起来将是 0.999，而不是 1。

有四种可能的解决方案。如果您关心的只是精确表示小数，例如 0.1 和 0.7（例如，您不关心 1/3 会遇到您提到的相同问题），那么您可以将您的数字表示为小数，例如使用二进制编码的十进制，并操纵它们。这是金融领域的常见解决方案，其中许多运算都是用十进制定义的。这样做的缺点是您需要自己实现所有算术运算，而没有计算机 FPU 的好处，或者找到一个 十进制算术库。正如前面提到的，这对于无法精确表示为十进制的分数也没有帮助。

另一种解决方案是使用分数来表示数字。如果您使用分数，并使用 bignum（任意大的数字）作为分子和分母，则可以表示适合计算机内存的任何有理数。同样，缺点是算术会比较慢，您需要自己实现算术或使用现有的库 。这将解决所有有理数的问题，但如果您最终得到基于 π 或 √2 计算的概率，您仍然会遇到无法准确表示它们的相同问题，并且还需要使用一个后面的解决方案。

第三种解决方案，如果您关心的只是让数字加起来正好为 1，那么对于有 n 种可能性的事件，只存储 n 的值-1 个概率，并将最后一个概率计算为 1 减去其余概率的总和。

第四种解决方案是在处理浮点数（或任何不精确的数字，例如用于表示无理数的分数）时始终需要记住的事情，并且永远不要比较两个数字是否相等。同样以 10 为基数，如果将 3 个 1/3 的副本相加，最终将得到 0.999。当你想将该数字与 1 进行比较时，你必须比较它是否足够接近 1；检查差值的绝对值 1-.999 是否小于阈值，例如 0.01。

Answer 8

二进制机器总是将小数部分（除 .0 和 .5、.25、.75 等）四舍五入为没有精确浮点表示形式的值。这与C++语言无关。除了在代码中从数字角度处理它之外，没有真正的解决方法。

至于实际产生您寻求的概率：

float pr[3] = {0.1, 0.2, 0.7};
float accPr[3];
float prev = 0.0;
int i = 0;

for (i = 0; i < 3; i++) {
    accPr[i] = prev + pr[i];
    prev = accPr[i];
}

float frand = rand() / (1 + RAND_MAX);
for (i = 0; i < 2; i++) {
    if (frand < accPr[i]) break;
}
return i;

Answer 9

很遗憾，您的问题并没有一个简单的答案。

它属于一个名为“数值分析”的研究领域，该领域处理这些类型的问题（这远远超出了确保您不检查两个浮点值之间是否相等的范围）。就研究领域而言，我的意思是有大量的书籍、期刊文章、课程等涉及它。有人以此为主题撰写博士学位论文。

我只能说，我很庆幸自己不必过多处理这些问题，因为问题和解决方案通常非常不直观。

您可能需要做什么来处理表示您正在处理的数字和计算，这在很大程度上取决于您正在执行的操作、这些操作的顺序以及您期望在这些操作中处理的值的范围。

Answer 10

根据您的应用程序的要求，以下几种解决方案中的任何一种都可能是最好的：

1. 您生活在固有的精度缺乏中，并使用浮点数或双精度数。您无法测试其中任何一个是否相等，这意味着您无法测试概率之和与 1.0 相等。

2. 正如之前所建议的，如果需要固定精度，可以使用整数。您将 0.7 表示为 7，0.1 表示为 1，0.2 表示为 2，它们相加将完美等于 10，即 1.0。如果您必须使用概率进行计算，尤其是进行除法和乘法时，您需要正确舍入结果。这将再次引入不精确性。

3. 用一对整数 (1,2) = 1/2 = 0.5 将您的数字表示为分数。精确，比 2) 更灵活，但你不想用这些来计算。

4. 您可以一直使用实现有理数的库（例如 gmp）。精确，任意精度，您可以用它进行计算，但速度很慢。

Answer 11

是的，如果您担心这些事情，我会缩放数字（0-100）（0-1000）或您需要的任何固定大小。在大多数情况下，它还可以加快数学计算速度。回到过去的糟糕日子，我们会以整数形式定义整个余弦/正弦表和其他此类布莱赫，以减少浮动模糊并提高计算速度。

我确实发现“0.7”在存储上的模糊程度有点有趣。