仿射变换

Question

我正在尝试解决以下问题。我对仿射变换了解不多。有人可以帮我回答这个问题吗：

找到一个 3x3 矩阵，表示齐次坐标的 2D 仿射变换（即每个点 [x,y] 表示为列向量 [x, y, 1])，将正方形 [0,0],[1,0],[1,1],[0,1] 转换为平行四边形 [0 ,1],[1,1],[2,2],[1,2]。

Answer 1

关于这个问题我发现的事情
1）您需要了解同质坐标
2) 您需要了解行专业和列专业之间的区别 - 阅读此处
3）您需要了解基本的仿射变换 - 旋转、缩放/剪切和平移以及如何在矩阵中表示它们 - 阅读此页

有趣的是，我认为答案只需要平移和剪切（无需旋转）。
查看源点和目标点，看起来所有目标点都在 y 中平移 +1，并在 X 中剪切 1（为了给出平行四边形，可能最好将其画出来看看我的意思）

所以从 3 * 开始3 单位矩阵 为

1 0 0
0 1 0
0 0 1

剪力将是
1 1 0
0 1 0
0 0 1

翻译将是
1 0 0
0 1 1
0 0 1

所以把它们放在一起应该是

1 1 0
0 1 1
0 0 1

我通常不使用列专业，所以可能值得仔细检查！

希望有帮助

Answer 2

仿射变换是 x ⟼ Ax + b 形式的变换，其中 x 和 b 是向量，A 是方阵。在几何上，仿射变换将平行四边形映射到平行四边形并保留沿线的相对距离。

为了解决这样的问题，我们首先注意到对于原点，我们有 0 ⟼ A0 + b = b。由于问题告诉我们 [0,0] ⟼ [0,1]，所以我们知道 b = [0,1]。

接下来，我们从线性代数中回忆一下，将矩阵乘以标准基向量 [0,1] 和 [1,0] 只是分别提取矩阵的第一列和第二列：

[a b] [1] = [a],  [a b] [0] = [b].
[c d] [0]   [c]   [c d] [1]   [d]

我们得到 [1,0] ⟼ [ 1,1] 和 [0,1] ⟼ [1,2]。由此我们得到

[1,1] = A[1,0] + b = [a,c] + [0,1] ⟹ [a,c] = [1,0],
[1,2] = A[0,1] + b = [b,d] + [0,1] ⟹ [b,d] = [1,1].

这给了我们仿射变换

Ax + b = [1 1] x + [0].
         [0 1]     [1]

齐次坐标是一个技巧，它让我们将仿射变换写成矩阵，只是有一个总是设置为1的额外坐标。矩阵公式是

[A b] [x] = [Ax+b].
[0 1] [1]   [   1]

这里A实际上是一个2×2矩阵，而b和x是2向量，左下角的0实际上是[0 0]。总的来说，我们正在处理一个 3×3 矩阵和 3 个向量。

所以我们的解决方案是

[1 1 0]
[0 1 1],
[0 0 1]

，为了更好地衡量，我们检查它是否能正常工作以实现最后一点：

[1 1 0] [1]   [2]
[0 1 1] [1] = [2].
[0 0 1] [1]   [1]

Answer 3

当然，您已经阅读过有关该主题的维基百科页面。

很久以前，我读过Foley 和 van Dam之前版本的版本（这可能是 1983 年或 1984 年），它涵盖了使用问题中描述的增强矩阵和向量操作 2D 和 3D 坐标的技术。然而，从那时起已经过去了足够的时间，我已经忘记了所有的细节（并且不再有这本书——太多的房子搬家了）。我好像记得还有一本纽曼和斯普劳尔写的书。

A = [ a  b  c ]    B = [ 0  1  1  0 ]   C = [ 0  1  2  1 ]
    [ d  e  f ]        [ 0  0  1  1 ]       [ 1  1  2  2 ]
    [ g  h  1 ]        [ 1  1  1  1 ]       [ 1  1  1  1 ]

B 的列代表正方形的角； C 的列代表平行四边形的角；并且必须求解矩阵方程 A x B = C。 IIRC，矩阵A右下角有一个1；值 c、f、g 和 h 也可能具有预定值（它们可能为零）。非零值应用线性（仿射）变换、缩放、剪切和旋转输入形状。

您需要在教科书中查找类似的信息。或者在维基页面中 - 我没有仔细看它（上面的信息是从古代记忆中得出的）。

Answer 4

我只是想指出超过四个点限制了二维仿射变换。在 Jonathan Leffler 的评论中，您可以从需要反转非方矩阵的事实中看出这一点。因此，要么选择其中的三个点，要么建立一个最小二乘系统。过度约束的最小二乘解可以用以下矩阵求解，

A = [ a  b  c ]    B = [ 0  1  1  0 ]   C = [ 0  1  2  1 ]
    [ d  e  f ]        [ 0  0  1  1 ]       [ 1  1  2  2 ]
    [ g  h  1 ]        [ 1  1  1  1 ]       [ 1  1  1  1 ]

以便使用正规方程求解可以

A B = C
(A B)^T = B^T A^T = C^T
B B^T A^T = B C^T
A^T = (B B^T)^-1 B C^T

撤销转置给出的结果

A =  ((B B^T)^-1 B C^T)^T