为计算机科学家正式证明下限和上限函数

Question

这确实是我必须完成的一种练习，但有一点指导就太好了。我必须确定是否应该证明或反驳这三个陈述......

我对下限和上限的定义非常基本。我不会费心把它们放在这里。一旦我确定他们是否需要证明/反驳，我就必须开始努力实现这一目标。

我的预感是，第一个需要反驳，因为并非所有 X 和 Y 的下限和上限都小于它们的下限相乘。好像太严格了。

第二种说法似乎不太严格。地板乘以 ceil 大于地板 xy...这很有可能。

第三种似乎也是可能的，尽管大多数时候我打赌它们的价值是相等的。

想知道我是否走在正确的轨道上。抱歉我的符号，我不想使用正式的数学符号。我必须为每个问题写出正式且严格的证明。

Answer 1

具体数学：计算机科学的基础，作者：Graham、Knuth 和 Patashnik。这很有趣，你应该读一下！

对于您的具体问题，每个问题都有简单的示例/反例：

1. “对于所有 x，对于所有 y，floor(x) * ceil(y) <= Floor(xy)” — 只需取 x=1，并且y 不是整数：那么它说 ceil(y) ≤ floor(y)，这显然是不正确的。
2. “Some X，Some Y，floor(x) * ceil(y) >= Floor(xy)”——同样，取 x=1，任意 y：则表示 ceil(y) ≥floor (y)，这是正确的。
3. “对于所有 X，对于所有 Y，floor(x) * ceil(y) > ceil(xy)”——再次取 x=1！它说 ceil(y) > ceil(y)，这不可能是真的。事实上，您可以严格减少，例如取 x=0.99 且 y 为正值：则左侧为 0，而右侧为正值。

Answer 2

1. 反例：x=2.9，y=2.9； ⎣x⎦ = 2; ⎡y⎤ = 3; ⎣xy⎦ = 8。
2. 考虑 x = 2.4，y = 2.4，但是 ∃x ∃y ⎣x⎦.⎡y⎤ ≥ ⎣xy⎦ 并不是一个很强的命题。
3. 反例：x=2，y=2； ⎣x⎦ = 2, ⎡y⎤ = 2, ⎡xy⎤ = 4。

我不需要那么努力地找到合适的例子。