圆与圆的碰撞

Question

我将开发一个二维球类游戏，其中两个球（圆圈）碰撞。现在我遇到了确定碰撞点的问题（实际上是确定它们是否在 x 轴/y 轴上碰撞）。我有一个想法，当两个球的 y 坐标之差大于 x 坐标差时，它们会在 y 轴上发生碰撞，否则，它们会在 x 轴上发生碰撞。我的想法正确吗？我在我的游戏中实现了这个东西。通常情况下它运行良好，但有时会失败。谁能告诉我我的想法是否正确？如果没有，那为什么，还有什么更好的方法吗？

x 轴上的碰撞是指圆的第 1、第 4、第 5 或第 8 个八分圆，y 轴是指圆的第 2、第 3、第 6 或第 7 个八分圆。

提前致谢！

Answer 1

正如 cletus 所说，您需要使用两个球的半径之和。您想要计算球中心之间的总距离，如下所示：

Ball 1:  center: p1=(x1,y1)  radius: r1
Ball 2:  center: p2=(x2,y2)  radius: r2

collision distance: R= r1 + r2
actual distance:    r12= sqrt( (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 )

只要 (r12 < R)，就会发生碰撞。正如 Artelius 所说，它们实际上不应该在 x/y 轴上碰撞，而是以特定角度碰撞。不过，你实际上并不想要那个角度；你想要碰撞向量。这是两个圆碰撞时中心之间的差异：

collision vector: d12= (x2-x1,y2-y1) = (dx,dy)
actual distance:  r12= sqrt( dx*dx + dy*dy )

请注意，在计算实际距离时，您已经在上面计算了 dx 和 dy，因此您不妨跟踪它们以用于此类目的。您可以使用此碰撞矢量来确定球的新速度 - 您最终将按某些因素缩放碰撞矢量，并将其添加到旧速度中......但是，要回到实际碰撞要点：

collision point:  pcollision= ( (x1*r2+x2*r1)/(r1+r2), (y1*r2+y2*r1)/(r1+r2) )

要弄清楚如何找到球的新速度（并且一般来说为了更了解整个情况），您可能应该找到一本高中物理书或同等书。不幸的是，我不知道有什么好的网络教程——有建议吗？

哦，如果仍然想坚持 x/y 轴的事情，我认为你已经做对了：

if( abs(dx) > abs(dy) ) then { x-axis } else { y-axis }

至于为什么它可能会失败，没有更多信息很难说，但你的球可能有问题移动得太快，在一个时间步内就擦肩而过。有很多方法可以解决这个问题，但最简单的方法是确保它们不会移动得太快......

Answer 2

这个网站解释了物理学，推导算法，并提供2D 球碰撞代码。

该函数计算以下内容后计算八分圆： 碰撞点相对于物体 a 质心的位置；碰撞点相对于物体a质心的位置

/**
This function calulates the velocities after a 2D collision vaf, vbf, waf and wbf from information about the colliding bodies
@param double e coefficient of restitution which depends on the nature of the two colliding materials
@param double ma total mass of body a
@param double mb total mass of body b
@param double Ia inertia for body a.
@param double Ib inertia for body b.
@param vector ra position of collision point relative to centre of mass of body a in absolute coordinates (if this is
                 known in local body coordinates it must be converted before this is called).
@param vector rb position of collision point relative to centre of mass of body b in absolute coordinates (if this is
                 known in local body coordinates it must be converted before this is called).
@param vector n normal to collision point, the line along which the impulse acts.
@param vector vai initial velocity of centre of mass on object a
@param vector vbi initial velocity of centre of mass on object b
@param vector wai initial angular velocity of object a
@param vector wbi initial angular velocity of object b
@param vector vaf final velocity of centre of mass on object a
@param vector vbf final velocity of centre of mass on object a
@param vector waf final angular velocity of object a
@param vector wbf final angular velocity of object b
*/
CollisionResponce(double e,double ma,double mb,matrix Ia,matrix Ib,vector ra,vector rb,vector n,
    vector vai, vector vbi, vector wai, vector wbi, vector vaf, vector vbf, vector waf, vector wbf) {
  double k=1/(ma*ma)+ 2/(ma*mb) +1/(mb*mb) - ra.x*ra.x/(ma*Ia) - rb.x*rb.x/(ma*Ib)  - ra.y*ra.y/(ma*Ia)
    - ra.y*ra.y/(mb*Ia) - ra.x*ra.x/(mb*Ia) - rb.x*rb.x/(mb*Ib) - rb.y*rb.y/(ma*Ib)
    - rb.y*rb.y/(mb*Ib) + ra.y*ra.y*rb.x*rb.x/(Ia*Ib) + ra.x*ra.x*rb.y*rb.y/(Ia*Ib) - 2*ra.x*ra.y*rb.x*rb.y/(Ia*Ib);
  double Jx = (e+1)/k * (Vai.x - Vbi.x)( 1/ma - ra.x*ra.x/Ia + 1/mb - rb.x*rb.x/Ib)
     - (e+1)/k * (Vai.y - Vbi.y) (ra.x*ra.y / Ia + rb.x*rb.y / Ib);
  double Jy = - (e+1)/k * (Vai.x - Vbi.x) (ra.x*ra.y / Ia + rb.x*rb.y / Ib)
     + (e+1)/k  * (Vai.y - Vbi.y) ( 1/ma - ra.y*ra.y/Ia + 1/mb - rb.y*rb.y/Ib);
  Vaf.x = Vai.x - Jx/Ma;
  Vaf.y = Vai.y - Jy/Ma;
  Vbf.x = Vbi.x - Jx/Mb;
  Vbf.y = Vbi.y - Jy/Mb;
  waf.x = wai.x - (Jx*ra.y - Jy*ra.x) /Ia;
  waf.y = wai.y - (Jx*ra.y - Jy*ra.x) /Ia;
  wbf.x = wbi.x - (Jx*rb.y - Jy*rb.x) /Ib;
  wbf.y = wbi.y - (Jx*rb.y - Jy*rb.x) /Ib;
}

Answer 3

我同意提供的答案，它们非常好。
我只是想向您指出一个小陷阱：如果球的速度很高，您可能会错过碰撞，因为对于给定的步骤，圆永远不会相交。
解决方案是求解运动方程并找到正确的碰撞时刻。

不管怎样，如果你能实现你的解决方案（X 轴和 Y 轴上的比较），你就会得到很好的老式乒乓球！ http://en.wikipedia.org/wiki/Pong
:)

Answer 4

它们碰撞的点位于两个圆的中点之间的线上，并且它与任一中点的距离是相应圆的半径。

Answer 5

圆圈之间的碰撞很容易。假设有两个圆：

• C1，中心为 (x1,y1)，半径为 r1；
• C2，中心为 (x2,y2)，半径为 r2。

想象一下这两个中心点之间有一条线。根据定义，从中心点到任一圆边缘的距离等于它们各自的半径。所以：

• 如果圆的边缘相接触，则圆心之间的距离为r1+r2；
• 任何更大的距离，圆圈都不会接触或碰撞；如果
• 再少，它们就会发生碰撞。

因此，如果满足以下条件，您就可以检测到碰撞：

(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 <= (r1+r2)^2

意味着中心点之间的距离小于半径之和。

同样的原理可以应用于检测三维球体之间的碰撞。

编辑：如果您想计算碰撞点，一些基本的三角学可以做到这一点。您有一个三角形：

        (x1,y1)
        |\
        | \
        |  \ sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) = r1+r2
|y2-y1| |   \
        |    \
        |   X \
(x1,y2) +------+ (x2,y2)
         |x2-x1|

表达式 |x2-x1| 和 |y2-y1| 是绝对值。因此，对于角度 X：

        |y2 - y1|
sin X =  -------
         r1 + r2

        |x2 - x1|
cos X =  -------
         r1 + r2

        |y2 - y1|
tan X =  -------
        |x2 - x1|

一旦获得角度，您就可以通过将它们应用到新三角形来计算交点：

  +
  |\
  | \
b |  \ r2
  |   \
  |  X \
  +-----+
     a

其中：

        a
cos X = --
        r2

所以

a = r2 cos X

根据前面的公式：

       |x2 - x1|
a = r2 -------
        r1 + r2

一旦获得 a 和 b，您就可以根据 ( x2,y2) 适当偏移 (a,b)。您甚至不需要为此计算任何正弦、余弦、反正弦或反余弦。或者任何与此相关的平方根。所以速度很快。

但是，如果您不需要精确的角度或碰撞点，而只需要八分圆，则可以通过了解有关切线的知识来进一步优化它，即：

• 0 <= tan X <= 1 for 0 <= X < ;= 45 度;
• tan X >= 1 对于 45 <= X <= 90
• 0 >= tan X >= -1 对于 0 >= X => -45；
• tan X <= -1 对于 -45 >= X => -90； tan
• X = tan (X+180) = tan (X-180)。

这四个度数范围对应于圆的四个八分圆。其他四个偏移 180 度。如上所示，切线可以简单地计算为：

        |y2 - y1|
tan X =  -------
        |x2 - x1|

失去绝对值，该比率将告诉您碰撞位于四个八分圆中的哪一个（通过上述切线​​范围）。要计算出精确的八分圆，只需比较 x1 和 x2 以确定哪个是最左边的。

另一个圆上碰撞的八分圆是偏移的（C1 上的八分圆 1 意味着 C2 上的八分圆 5、2 和 6、3 和 7、4 和 8 等）。