MATLAB 求解方程问题

Question

我想使用 MATLAB 求解这些方程，并且我确信是一个非零解。等式为：

0.7071*x            + 0.7071*z = x 
  -0.5*x + 0.7071*y +    0.5*z = y
  -0.5*x - 0.7071*y +    0.5*z = z

我在 MATLAB 中写道：

[x,y,z]=solve('0.7071 * x+0.7071 * z=x','-0.5 * x+0.7071 * y+0.5 * z=y','-0.5 * x-0.7071 * y+0.5 * z=z');

但结果是 x = y = z = 0。 正如我所说，我确信有解决方案。有人可以帮忙吗？

Answer 1

您正在寻找一个非平凡的解决方案 v 到 A*v=v 且 v=[x;y;z] 并且...

A =
   0.70710678118655                  0   0.70710678118655
  -0.50000000000000   0.70710678118655   0.50000000000000
  -0.50000000000000  -0.70710678118655   0.50000000000000

您可以将其转换为 (AI)v=0，其中 I 是 3x3 单位矩阵。要找到一个不平凡的解决方案，你必须做的是检查人工智能的零空间：

>> null(A-eye(3))

ans =

   0.67859834454585
  -0.67859834454585
   0.28108463771482

所以，你有一个一维零空间。否则您会看到不止一列。列的每个线性组合都是该零空间中的一个点，AI 将其映射到零向量。因此，该向量的每个倍数都是您问题的解决方案。

实际上，你的矩阵 A 是第一类旋转矩阵，因为 det(A)=1 且 A'*A=identity。因此它的特征值为1，以旋转轴为对应的特征向量。我上面计算的向量是标准化旋转轴。

注意：为此，我用 sqrt(0.5) 替换了您的 0.7071。如果舍入误差是一个问题，但你事先知道必须有一个不平凡的解决方案，最好的选择是对 AI 进行奇异值分解并选择最右边的奇异向量：

>> [u,s,v] = svd(A-eye(3));
>> v(:,end)

ans =

   0.67859834454585
  -0.67859834454585
   0.28108463771482

这样你就可以计算一个向量 v 来最小化|A*vv|在 |v|=1 的约束下，其中 |.|是欧几里得范数。

Answer 2

我认为您不需要使用 solve 函数，因为您的方程是线性方程组。

重新转换为矩阵方程：

Ax = B

在您的情况下：

    | -0.2929   0.0      0.7071  |  | x |     | 0 |
    | -0.5     -0.2929   0.5     |  | y |  =  | 0 |
    | -0.5     -0.7071  -0.5     |  | z |     | 0 |

使用 MATLAB 的内置函数来求解。请参阅MATLAB：线性方程组的解。

MATLAB的核心就是求解这类方程。

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使用 FreeMat （一个类似 MATLAB 的开源环境，
GPL 许可证； Windows 安装程序的直接下载 URL）：

   A = [ -0.2929 0.0 0.7071; -0.5 -0.2929 0.5; -0.5 -0.7071 -0.5 ]

   B = [0.0; 0.0; 0.0]

   A\B

   ans =
    0
    0
    0

所以解为： x = 0, y = 0, z = 0

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该解也可以手动导出。从最后两个方程开始：

    -0.5*x + 0.7071*y +    0.5*z = y
    -0.5*x - 0.7071*y +    0.5*z = z

    0.2929*y =  -0.5*x + 0.5*z
    0.7071*y =  -0.5*x + 0.5*z

    0.2929*y = 0.7071*y

因此 y = 0.0 并且：

    0.7071*y =  -0.5*x + 0.5*z

    0 =  -0.5*x + 0.5*z

    0 =  -0.5*x + 0.5*z

    0.5*x = 0.5*z

    x = z

插入第一个方程：

    0.7071*x + 0.7071*z = x 

    0.7071*x + 0.7071*x = x 

    1.4142*x = x 

因此 x = 0.0。当 x = z 时，z = 0.0。

Answer 3

x = 0、y = 0、z = 0 是正确的解。这个问题可以通过手工轻松解决。

Answer 4

A = [ 0.7071 0 0.7071 ;
      -0.5 0.7071 0.5 ;
    -0.5 -0.7071 0.5 ];
B = [1 ; 1 ; 1];

AA = A-diag(B)

      -0.2929            0       0.7071
         -0.5      -0.2929          0.5
         -0.5      -0.7071         -0.5

BB = B-B

     0
     0
     0

AA\BB

     0
     0
     0

Answer 5

朋友们使用MATLAB命令rref(A) for Ax=B....它将给出一个上三角矩阵。然后你可以轻松计算非平凡的解决方案......但请记住，如果 rref(A)=I （如您的情况），那么非平凡的解决方案不存在。
祝你好运