如何将正方形上的坐标转换为圆上的坐标？

发布于 2024-08-09 01:38:25 字数 319 浏览 5 评论 0原文

我正在开发一款独立视频游戏，并且一直在这样的假设下进行操作：因为我的控制器上的拇指杆具有圆形运动范围，所以它返回“圆形”坐标；也就是说，笛卡尔坐标被限制在一个圆形区域（半径为 1）。事实上，坐标是“正方形”；例如，右上角的拇指杆位置记录为 x=1,y=1。当我将坐标从笛卡尔坐标转换为极坐标时，幅度可能会超过 1 - 这会导致玩家沿对角线移动的速度比垂直或水平移动的速度更快。

因此，为了澄清，我想以方向和幅度来记录模拟操纵杆的位置，其中幅度在 0 和 1 之间。操纵杆返回方形平面上的坐标，因此只需将坐标从笛卡尔坐标转换为极坐标还不够。我想我需要转换坐标空间，但这已经突破了我猴脑的极限。

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无可置疑 2024-08-16 01:38:25

请参阅将正方形映射到圆形。映射还有一个很好的可视化效果。你得到：

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2)
yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2)

See Mapping a Square to a Circle. There's also a nice visualization for the mapping. You get:

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2)
yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2)

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浪漫人生路 2024-08-16 01:38:25

该映射不是唯一的。这个问题还有很多其他的解决方案。

例如，此映射也将起作用

u = x √(x2 + y2 - x2y2) / √(x2 + y2)
v = y √(x2 + y2 - x2y2) / √(x2 + y2)

其中 (u,v) 为圆盘坐标和(x,y)是方坐标。

一张图片胜过一千个单词，因此这里有一些图像来说明映射及其逆的非唯一性。

有关此其他映射的 C++ 实现，请访问
http://squirulous.blogspot.com/2015/09/fg-squircle -mapping.html
有关映射结果的更多图像，请参阅 http://squirulous.blogspot.com。

另请参阅“平方圆盘的分析方法”，了解讨论不同映射方程及其证明和推导的论文。

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童话 2024-08-16 01:38:25

将每个值除以幅度，将所有值标准化为单位向量，例如，

magn = sqrt(x * x + y * y);
newx = magn > 1.0 ? x / magn : x;
newy = magn > 1.0 ? y / magn : y;

但是，这可能会产生裁剪幅度的效果，而不是对内部值进行标准化。也就是说，您将获得推送的控制器的相同值“完全”进入左上角，控制器几乎完全推入同一方向。

Divide each value by the magnitude to normalize all values to a unit vector, e.g.

magn = sqrt(x * x + y * y);
newx = magn > 1.0 ? x / magn : x;
newy = magn > 1.0 ? y / magn : y;

However, this may have the effect of clipping the magnitude instead of normalizing for the interior values.. That is, you'll get the same value for a controller pushed "fully" into the upper-left and a controller almost pushed fully into the same direction.

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萌逼全场 2024-08-16 01:38:25

我迟到了很多年，但我想在回过头来更深入地研究这个问题之后，我想分享一下我能够解决这个问题的方法。认为有更好的解决方案，但找不到。

我最近不得不在 JavaScript 中做类似的事情，并创建了一种将单位正方形的 X 和 Y 规范化（或映射？）到四分之一单位圆的方法，得出速度为V，方向为d。这用于生成具有随机值的流场网格点。

我使用 (n * 2) - 1 来获取 X 和 Y 值，其中 n 是随机值0 和 1 之间的数字。 X 和 Y 的值在 -1 和 1 之间。

首先，我们得到 X,Y 的斜边或 h。

h = √(X² + Y²)

然后我们得到 X 和 h 之间的角度，为 Δ绝对值|•|。我们得到绝对值，所以我们不会得到负的 V

Δ = |arcsin(X/h)|

现在我们有了角度，我们可以沿着该角度延伸斜边。我们通过将 X 最大化为 1 来实现这一点。我们称之为 h'

h' = 1/cos(Δ)

因为我们使用了绝对值，所以这会改变沿原点的方向。我们这样解释。

q = 45(π/180)
如果 (Δ ≥ q) h' = 1/cos(q - (Δ mod q))

这样，现在我们可以标准化h 与 h'。

V = h/h'

要获得真正的 Δ 或 d，我们必须在某些情况下纠正它的方向逻辑。

我们将使用度数转换为弧度，然后使用之前计算的 Δ。

逻辑如下：

 (X ≥ 0)?(Y ≥ 0)?toRad(90) mod ∆: ∆ + toRad(270):(Y ≤ 0)? ∆ + toRad(180): ∆ + toRad(90)

为了澄清，每种情况都对应于网格/圆的一个象限。

如果 X ≥ 0 且 Y ≥ 0，则 toRad(90) mod Δ
如果 X ≥ 0 且 <代码>Y < 0，则 Δ + toRad(270)
如果 X 0 且 Y ≤ 0，则 Δ + toRad(180)
如果 X 0 和 Y > 0，然后Δ + toRad(90)

这将为您提供以弧度为单位的方向旋转。请注意，将 360° 重置回 0 可能会很有用。

这基本上就是我的想法。在某种程度上，它对值进行插值，使其保持在 0 和 1 之间，因此 1,0 和 1,1 等值都等于 1。其中 1 ,0 是 100% 靠右，1,1 是 100% 靠上/右前。 X 和 Y 的负值只会沿着各自的轴翻转方向。如果X,Y等于0，那么V和d也为0。

我希望这可以帮助人们避免将来的头痛。

I'm many years late but I thought I'd share what I was able to figure out for this problem after going back and looking into it deeper. Thought there was a better solution but couldn't find one.

I recently had to do something similar in JavaScript and created a way to normalize(or map?) the X and Y of a unit square to a quarter unit circle, deriving the velocity as V, and Direction as d. This was used to generate flow field grid points with random values.

I used (n * 2) - 1 to get the X and Y values, where n is a random number between 0 and 1. The values of X and Y are between -1 and 1.

First, we get the hypotenuse, or h, of X,Y.

h = √(X² + Y²)

Then we get the angle, as ∆, between X and h as an absolute value |•|. We get the absolute value so we don't get a negative V

∆ = |arcsin(X/h)|

Now that we have angle, we can extend the hypotenuse along that angle. We do so by maxing out X to 1. Well call this h'

h' = 1/cos(∆)

Because we used the absolute value, this changes the orientation along the origin point. We account for that like so.

q = 45(π/180)
if (∆ ≥ q) h' = 1/cos(q - (∆ mod q))

With that, now we can normalize h with h'.

V = h/h'

To get the true ∆, or d, we're going to have to correct for it's orientation with some case logic.

We'll be using degrees converted to radians, then using the ∆ calculated before.

The logic is as follows:

 (X ≥ 0)?(Y ≥ 0)?toRad(90) mod ∆: ∆ + toRad(270):(Y ≤ 0)? ∆ + toRad(180): ∆ + toRad(90)

To clarify, each case coresponds to a quadrant of the grid/circle.

If X ≥ 0 and Y ≥ 0, then toRad(90) mod ∆
If X ≥ 0 and Y < 0, then ∆ + toRad(270)
If X < 0 and Y ≤ 0, then ∆ + toRad(180)
If X < 0 and Y > 0, then ∆ + toRad(90)

This will give you the rotation of direction in radians. Note that it may be useful to reset 360° back to 0.

That's basically what I came up with. In a way it interpolates the values so that it stays between 0 and 1, so values like 1,0 and 1,1 both equal to 1. Where 1,0 is 100% to right and 1,1 is 100% to the top/forward right. Negative values for X and Y just flip orientation along there respective axis. If X,Y are equal to 0, then V and d are also 0.

I hope this helps someone avoid a headache in the future.

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