如何镶嵌贝塞尔三角形？

Question

我关心的是二次贝塞尔三角形，我试图对其进行细分以渲染它们。

我已经通过像维基百科页面中描述的那样递归地细分三角形来实现这一点。虽然我想获得更精确的细分。问题是，我要么得到太少的细分，要么得到太多细分，因为该算法的每次迭代中曲面的数量都会加倍。

特别是，我需要一种自适应曲面细分算法，该算法允许我定义边缘处的分段数量。我不确定我是否能做到这一点，所以我也想听听统一的镶嵌技术。

最困难的问题是我在计算贝塞尔曲面中某个点的法线时遇到了麻烦，我不确定是否需要，但一直在尝试解决。

Answer 1

自适应曲面细分。有很多算法可以实现这一点。但有一个问题：

def line_angle((x0,y0),(x1,y1)):
    return atan2(y1-y0,x1-x0)

def adaptive_bezier(p0,p1,p2,lev=32):
    p01 = midpoint(p0,p1)
    p12 = midpoint(p1,p2)
    m = midpoint(p01, p12)
    da = abs(line_angle(p0,p1) - line_angle(p1,p2))
    if da <= max_tolerance or lev <= 0:
        yield m
    else:
        for p in adaptive_bezier(p0,p01,m,lev-1): yield p
        for p in adaptive_bezier(m,p12,p2,lev-1): yield p

对于以这种方式细分三角形，事情会变得很复杂。您需要根据边缘贝塞尔曲线的角度驱动自适应镶嵌器算法。细分时，三角形可以通过三种独特的方式进行分割。

 2 edges      one edge     3 edges    
--------     ---------    --------
\  ...//     \   |   /    \ /  \ /
 \/___/       \  |  /      \____/
  \  /         \ | /        \  /
   \/           \|/          \/

为这些图案定义细分结果，您就一切顺利了。维基百科文章中仅描述了具有一条边的镶嵌。

通过研究一侧边缘分割的情况可以获得另外两个曲面细分结果。

通过先分割一条边，然后分割另一条边，可以直接获得“2 条边”。

找出“3条边”需要更多的工作。但您可以看到“2 个边缘”-案例为您带来了中间边缘。对于二次贝塞尔三角形，它是出现在那里的菱形的平均和：

--------      /\
\      /     /  \
 \____/     -____-
  \  /       \  /
   \/         \/