检查删除图中的边是否会导致图分裂

Question

我有一个图形结构，我将一一删除边缘，直到满足某些条件。我的大脑完全停止了，我找不到有效的方法来检测删除边缘是否会导致我的图分裂成两个或更多图。

强力解决方案是进行 bfs，直到可以从随机节点到达所有节点，但这对于大图来说会花费太多时间......

有什么想法吗？

编辑：经过一番搜索后，我想做的事情似乎与 fleury 的算法非常相似，我需要查找一条边是否是“桥”。

Answer 1

删除后使图断开连接的边称为“桥”。通过对整个图进行一次深度优先搜索，您可以在 O(|V|+|E|) 中找到它们。相关算法会找到所有的“连接点”（如果删除的话，会使图形断开连接的节点）。两个铰接点之间的任何边缘都是桥（您可以在第二次遍历所有边缘时进行测试）。

//
// g: graph; v: current vertex id; 
// r_p: parents (r/w); r_a: ascents (r/w); r_ap: art. points, bool array (r/w)
// n_v: bfs order-of-visit 
//
void dfs_art_i(graph *g, int v, int *r_p, int *r_v, int *r_a, int *r_ap, int *n_v) {
    int i;
    r_v[v] = *n_v;
    r_a[v] = *n_v;
    (*n_v) ++;

    // printf("entering %d (nv = %d)\n", v, *n_v);
    for (i=0; i<g->vertices[v].n_edges; i++) {
        int w = g->vertices[v].edges[i].target;
        // printf("\t evaluating %d->%d: ", v, w);
        if (r_v[w] == -1) {    
            // printf("...\n");
            // This is the first time we find this vertex
            r_p[w] = v;
            dfs_art_i(g, w, r_p, r_v, r_a, r_ap, n_v);
            // printf("\n\t ... back in %d->%d", v, w);
            if (r_a[w] >= r_v[v]) {
                // printf(" - a[%d] %d >= v[%d] %d", w, r_a[w], v, r_v[v]);
                // Articulation point found
                r_ap[i] = 1;
            }
            if (r_a[w] < r_a[v]) {
                // printf(" - a[%d] %d < a[%d] %d", w, r_a[w], v, r_a[v]);
                r_a[v] = r_a[w];
            }
            // printf("\n");
        }
        else {
            // printf("back");
            // We have already found this vertex before
            if (r_v[w] < r_a[v]) {
                // printf(" - updating ascent to %d", r_v[w]);
                r_a[v] = r_v[w];
            }
            // printf("\n");
        }
    }
}

int dfs_art(graph *g, int root, int *r_p, int *r_v, int *r_a, int *r_ap) {
    int i, n_visited = 0, n_root_children = 0;
    for (i=0; i<g->n_vertices; i++) {
        r_p[i] = r_v[i] = r_a[i] = -1;
        r_ap[i] = 0;
    }
    dfs_art_i(g, root, r_p, r_v, r_a, r_ap, &n_visitados);    

    // the root can only be an AP if it has more than 1 child
    for (i=0; i<g->n_vertices; i++) {
        if (r_p[i] == root) {
            n_root_children ++;
        }
    }
    r_ap[root] = n_root_children > 1 ? 1 : 0;
    return 1;
}

Answer 2

如果删除顶点 A 和 B 之间的链接，难道不能检查边删除后是否仍然可以从 B 到达 A 吗？这比从随机节点获取所有节点要好一些。

Answer 3

如何选择要删除的边缘？
您能详细介绍一下您的问题领域吗？

你的图表有多大？也许 BFS 就可以了！

当你写到你试图找出一条边是否是一座桥之后，我建议
您按照边的介数度量的降序删除边。

本质上，介数是对图中边（或顶点）中心性的度量。
介数值较高的边更有可能成为图中的桥梁。

网上查了一下，这个算法叫“Girvan-Newman算法”。