Mathematica 中的部分评估

Question

我有一个作用于两个函数的微分运算符。为了简化问题，假设我的运算符是

A[F_,G_] := D[F,x] D[G,y]

，如果我知道 F，我希望能够定义微分运算符 AF，使得 AF[G] 等于 A[F,G]。最明显的方法是

AF[G_] := A[F,G]

没有任何问题的工作。但我真正想要的是安排事情，以便当我使用不同的参数 G1、G2...调用 AF 时，导数 D[F,x] 不会每次都重新计算，而只会重新计算一次。此外，我希望 AF 的定义不依赖于 A 的特定形式，因为 A 作为参数传递给我的函数。

我已经阅读了有关 Hold、HoldAll、Evaluate 等的帮助，但我无法将这些内容放在一起来获得我想要的东西。我什至不知道我想要的在 Mathematica 中是否可行。

Answer 1

对于您描述的问题，我没有看到直接的方法。您可以做的一件事是重新定义它以使其变得更加容易，那就是重新定义 A ，使其成为 F 和 G 的导数的函数。如果您有，

A[{dFdx_,dFdy_}, {dGdx_,dGdy_}] := dFdx*dFdy 

您将能够很好地计算所需的 F 的导数，然后以相对于 通用的方式定义 AF A，如下所示：

With[{ dFdx = D[F,x], dFdy = D[F,y] },
  AF[G_] := A[{dFdx, dFdy}, {D[G, x], D[G, y]}]]

您可以使用 With 将已求值的片段替换为 SetDelayed 表单（使用“:=”的定义）的未求值右侧，如图所示。然而，如果您不能做出这样的改变，事情就会变得棘手，您将不得不对 A 是什么进行一些假设。

如果 A 是为其定义了 DownValues 的符号，并且定义简单，那么您可以通过使用 Hold、执行规则替换和然后执行 ReleaseHold，如下所示：

ReleaseHold[
  Hold[AF[G_] := A[F, G]] /. DownValues[A] /. 
    HoldPattern[D[F, var_]] :> With[{eval = D[F, var]}, eval /; True]]

第二条规则中的 With[...] 位是一个技巧，用于强制评估与 内的模式匹配的内容>Hold 调用“Trott-Strzebonski 方法” ，这很晦涩，但对于这样的任务非常有用。然而，这种方式确实限制了你的接口，这意味着你不能为 A 传递一个纯函数，并且对于更复杂的定义，这个技巧可能也不起作用。如果您能够设法指定您的微分形式将是实际导数的函数，我强烈建议您这样做。

编辑：我想到了一种更通用、更强大的方法来做到这一点。

技巧是使用 Block 暂时抑制 D（导数运算符）的定义，因此 A 定义中的导数保持未计算状态，然后使用规则替换来替换 F 的导数的值，同时将所有内容包装在纯函数中以获得正确的名称替换，如下所示：

With[{fRules =
 {HoldPattern[D[F, x]] :> Evaluate[D[F, x]]}},
   Block[{D},
     With[{fn = Function[G, Evaluate[A[F, G] /. fRules]]},
       AF[G_] := fn[G]]]]

Answer 2

你能不能仅仅这样做：

A[F_] := With[{DF = D[F, x]}, Function[{G}, DF D[G, y]]]

这类似于在 F# 等真正的函数式编程语言中进行柯里化，你可以在其中编写：

let a f =
  let df = d f x
  fun g -> df * d g y