通过矩阵平移向量

Question

我有一个 4*4 矩阵和一个 3d 向量。 我需要通过矩阵翻译我的向量。

请不要太多疯狂的数学符号，因为我不明白。

一个接近java的例子就太棒了！

Answer 1

一旦你看到它，就很容易了。

(New-3d-point) = Metrix-4x4 x (Old-3d-point)

意味着...

|x_new|   |a1 a2 a3 a4|   |x_old|
|y_new| = |b1 b2 b3 b4| x |y_old|
|z_new|   |c1 c2 c3 c4|   |z_old|
|  1  |   |d1 d2 d3 d4|   |  1  |

意味着...

x_new = a1*x_old + a2*y_old + a3*z_old + a4
y_new = b1*x_old + b2*y_old + b3*z_old + b4
z_new = c1*x_old + c2*y_old + c3*z_old + c4

d1-d4 可以生成“1”，因此您不需要使用它。

希望这有帮助。

Answer 2

不过，你需要数学。我会尽量温和，但如果你不知道如何进行矩阵乘法，你需要立即查一下！

首先，您需要通过添加额外的 1 将 3D 向量变成 4 向量。计算机图形学通常将其称为“w”坐标（与 x、y 和 z 坐标配合）。

3D矢量：(X,Y,Z) -> 4D 向量：(x=X, y=Y, z=Z, w=1)

然后，您可以将 4 向量乘以 4x4 矩阵。它的作用取决于矩阵——但是你可以创建一个平移向量的矩阵：

[x,y,z,1] * [1 0 0 0]  =  [x+a,y+b,z+c,1]
            [0 1 0 0]
            [0 0 1 0]
            [a b c 1]

毫不奇怪，这种矩阵被称为平移矩阵。

这样做的好处是，您还可以创建一个旋转矩阵或缩放矩阵，然后您可以将任意数量的它们相乘成一个矩阵：

v * M1 * M2 * M3 = v * (M1*M2*M3)

将向量乘以得到的矩阵相当于按顺序乘以所有分量矩阵，正如您想象的那样，这可以节省您大量的时间和麻烦。

---

将 4 向量乘以 4x4 矩阵的代码可能类似于：

for(int i=0; i<4; ++i) {
  double accumulator= 0.0;
  for(int j=0; j<4; ++j) {
    accumulator+= rowVectorIn[j]*matrix[j][i]; // matrix is stored by rows
  }
  rowVectorOut[i]= accumulator;
}

Answer 3

如果您将（通常是 3d）向量 (x, y, z) 视为四向量 (x, y, z, 1)，您可以这样做：w = AvT，其中 ^T 是转置操作（垂直扭曲水平向量，反之亦然），A 是正确选择的矩阵，w 是转换后的矩阵。

您必须知道如何进行矩阵乘法。

要通过 (a, b, c) 获得转置，而无需将 A 定义为：

1  0  0  a
0  1  0  b
0  0  1  c
0  0  0  1

Answer 4

我不确定您的数据到底以什么形式出现，但乍一看，您可能正在处理

无需太深入数学，有几种方法可以表示三维矩阵变换。有欧拉角和四元数。欧拉角肯定更简单，但四元数具有不易受万向节锁定影响的优点。

三维实值的四元数用 4x4 矩阵表示，这就是为什么我认为这可能适用于您。当然，其他解决方案的作者可能是正确的，您正在处理的内容可能完全不同，但无论如何它可能值得学习。

希望这有帮助。祝你好运！