代码时间复杂度分析

Question

int foo(int n) 
{
    int x=2;
    while (x<n)
    {
        x = x*x*x;
    }

    return x;
}

我需要分析一下它的时间复杂度。我注意到它达到 n 的速度比 log(n) 快得多。我的意思是，它执行的步骤比 O(log(n)) 执行的步骤少。我读了答案，但不知道他们是如何得到它的：它是O(log(log(n))。现在，你如何处理这样的问题？

Answer 1

把它想象成一个递归函数：

f(i) = f(i-1)^3

如果你展开它：

f(i) = ((f(i-k)^3)^3)[...k times] = f(i-k)^(3^k) = f(0)^(3^i)

函数随着幂的幂而增长...所以达到某个数字（即计算函数的逆）的时间（迭代）是对数对数。

正如您的示例中的f(0) = 2，我们想知道f(i) >= n何时成为n输入参数（以及 i 迭代次数）：

f(i) = 2^(3^i) >= n
           3^i >= log_2(n)
             i >= log_3(log_2(n))

因此，要达到 n 值，需要 log_3(log_2(n)) 次迭代（round处理整数时要超过它）。

如果函数是：

f(i) = 2*f(i-1) //e.g. x=2*x

那么模式是：

f(i) = 2*2*[...k times]*f(i-k) = f(i-k)*(2^k) = f(0)*(2^i)

在这种情况下，函数的倒数将以 2 为底的单个对数。

我的数学不是很严格，但我希望你能明白这个想法。

Answer 2

考虑 x 如何随着循环迭代次数的变化而变化。每一次，你都会把它切成立方体。因此，经过 i 次迭代后，该值将是 2 的立方，再次立方......依此类推，i 次。我们用 x(i) 来表示这个表达式。假设 x(0)=2、x(1)=23 等（我使用 ab 表示 a 的 b 次幂）。

当 x(i)>=n 时我们就完成了。多久时间？让我们来解决 i.

First, we take a log on both sides: ln(x(i))>=ln(n)

ln(x(i)) = ln(x(i-1))*3 = ln(x(i-2))*(3**2) = ... = ln(x(0))*(3**i)

(the above uses [this property][1]: ln(x**b)==ln(x)*b)

so, 3**i * 2 >=ln(n). Let's take another logarithm:

ln(3**i * 2) = ln(2) + ln(3)*i 

so ln(2) + ln(3)* i >= ln(ln(n))

Now we can solve for i: i >= ( ln(ln(n))-ln(2) ) / ln(3)

我们可以忽略常数因素，我们得出的结论是我们将采取 log(log(n)) 步骤。这就是你的算法的复杂性。

希望像这样分解所有步骤会有所帮助。

Answer 3

让

L3 = 对数以 3 为底
L2 = 对数到底数 2

那么正确答案是 O(L3(L2(n)) 而不是 O(L2(L2(n))。

从 < strong>x = x * 2，x 将呈指数增长，直到达到 n，从而使时间复杂度为 O(L2(n))

现在考虑 x = x * x。在每次迭代中，x 的值都会跳到其前一个值的平方，我们得到的结果如下：

对于 x = 2。
n = 4，迭代次数 = 1
n = 16，迭代次数 = 2
n = 256，迭代次数 = 3
n = 65536，迭代次数 = 4

因此，时间复杂度为 O(L2(L2(n))。您可以通过将值置于 n 的值之上来验证这一点。

现在来解决您的问题，< strong>x = x * x * x 这会比 x = x * x 增长得更快，如下表：

对于 x = 2。
n = 8，迭代次数 = 1
n = 512，迭代次数 = 2
n = (512*512*512)，迭代次数 = 3 等等

如果仔细观察，结果是 O(L3(L2(n))。L2(n)会得到 2 的幂，但是由于您在每次迭代中都取 x 的立方，因此您必须以 3 为底取对数才能找出正确的迭代次数，

所以我认为正确的答案是 <。 strong>O(log-to-base-3(log-to-base-2(n))

概括这一点，如果x = x * x * x * x * ..（k 次） ，那么时间复杂度为O(log-to-base-k(log-to-base-2(n)

Answer 4

如果 while 循环内的代码是

x = 2*x;

x，则在 O(log(n)) 次迭代中将达到 n。由于您对 x 进行立方而不是仅将其乘以常数，因此您将更快地达到 n。

Answer 5

鉴于

log ( A * x )     == log ( A ) + log ( x )
log ( x * x * x ) == 3 * log ( x )

此，

log ( log ( x * x * x ) ) == log ( 3 * log ( x ) )
                          == log ( 3 ) + log ( log ( x ) )

该函数将比您的函数快或慢多少（通过循环迭代次数来衡量）？

int log_foo ( int n ) 
{
    double          log_x = log ( 2 );
    const double    log_n = log ( n );

    while ( log_x < log_n )
    {
        log_x = 3 * log_x;
    }

    return exp ( log_x );
}

这个函数比你的函数快或慢多少？

int log_log_foo ( int n ) 
{
    double          log_log_x = log ( log ( 2 ) );
    const double    log_log_n = log ( log ( n ) );
    const double    log_3     = log ( 3 );

    while ( log_log_x < log_log_n )
    {
        log_log_x += log_3;
    }

    return exp ( exp ( log_log_x ) );
}

但此函数仅将 log_log_x 增加一个常量，因此很容易计算出它执行了多少次迭代。

Answer 6

设i为迭代步数，x(i)为i步后x的值。我们有

x(0) = 2
x(i) = x(i-1)³

总步数是最大的i，因此x(i) x(i) < n。

我们有

log x(i) = log x(i-1)³
         = 3·log x(i-1)
         = 3·log x(i-2)³
         = 3²·log x(i-2)
         = 3^i·log x(0)
         = 3^i·log 2

⇒  log log x(i) = log (3^i·log 2)
                 = log 3^i + log log 2
                 = i·log 3 + log log 2

对数严格递增，所以

x(i) < n ⇔        log log x(i) < log log n
         ⇔ i·log 3 + log log 2 < log log n
         ⇔                   i < (log log n - log log 2) / log 3 ∈ O(log log n)

Answer 7

为什么不添加一个计数器变量来计算循环的迭代次数。在函数返回之前将其打印出来。

然后针对一系列值调用该函数，例如从 3 到 1,000,000 开始。然后使用 GNUPlot 之类的内容绘制结果。

然后查看该图是否与已知曲线匹配。