在 Perl 中如何计算给定正态分布的点的概率？

Question

Perl 中是否有一个包可以让您计算每个给定点的概率分布高度。例如，在 R 中可以这样完成：

> dnorm(0, mean=4,sd=10)
> 0.03682701

即点 x=0 落入正态分布（平均值=4、sd=10）的概率为 0.0368。 我查看了 Statistics::Distribution 但它没有不给那个非常 函数来做到这一点。

Answer 1

dnorm(0, Mean=4, sd=10) 确实没有给出这样一个点发生的概率。引用维基百科上的概率密度函数

在概率论中，概率
密度函数 (pdf)——经常提及
作为概率分布
函数1 - 或密度，随机数
变量是一个函数，描述
每个点的概率密度
样本空间中的点。这
随机变量的概率
落入给定集合由下式给出
其密度的积分
设置。

您提到的概率是

R> pnorm(0, 4, 10)
[1] 0.3446

从 N(4, 10) 分布中获得等于或小于 0 的值的概率为 34.46%。

至于你的 Perl 问题：如果你知道如何在 R 中做到这一点，但需要从 Perl 中得到它，也许你需要编写一个基于 R 的 libRmath （在 Debian 中由包 r-mathlib 提供）的 Perl 扩展来获取这些函数珀尔？这不需要 R 解释器。

否则，您可以尝试使用 GNU GSL 或 Cephes 库来访问这些特殊函数。

Answer 2

为什么不沿着这些思路做一些事情（我正在用 R 编写，但它可以在 Perl 中使用Statistics::Distribution 完成）：

dn <- function(x=0 # value
               ,mean=0 # mean 
               ,sd=1 # sd
               ,sc=10000 ## scale the precision
               ) {
  res <- (pnorm(x+1/sc, mean=mean, sd=sd)-pnorm(x, mean=mean, sd=sd))*sc
  res
}
> dn(0,4,10,10000)
0.03682709
> dn(2.02,2,.24)
1.656498

[编辑：1] 我应该提到，这种近似在远端可能会变得非常可怕。根据您的应用程序，这可能重要也可能不重要。

[编辑：2] @foolishbrat 将代码变成了函数。结果应该始终是积极的。也许您忘记了在 perl 模块中您提到函数返回较高概率 1-F，而 R 返回 F？

[编辑：3]修复了复制和粘贴错误。

Answer 3

如果你确实想要密度函数，为什么不直接使用它：

$pi = 3.141593;
$x = 2.02;
$mean = 2;
$sd = .24;
print 1/($sd * sqrt(2*$pi)) * exp(-($x-$mean)**2 / (2 * $sd**2));

它给出的结果是 1.65649768474891 ，与 R 中的 dnorm 大致相同。

Answer 4

我认为朱尼的说法不太正确。这似乎给出了 PDF 的合理版本（如果您只想要特定的 xy 点，请提取循环的中间部分）：

!/usr/bin/perl

use strict;
use Getopt::Std;
use POSIX qw(ceil floor);

# Usage
# Outputs normal density function given a mean and sd
# -s standard deviation
# -m mean
# -n normalization factor (multiply result by this amount), optional

my %para = ();
getopts('s:m:n:', \%para);
if (!exists ($para{'s'}) || !exists ($para{'m'})) {
   die ("mean and standard deviation required");
}

my $norm = 1.0;
if (exists ($para{'n'})) {
   $norm = $para{'n'};
}

my $sd = $para{'s'};
my $mean = $para{'m'};

my $start = floor($mean - ($sd * 5));
my $end = ceil($mean + ($sd * 5));

my $pi = 3.141593;

my $var = $sd**2;

for (my $x = $start; $x < $end; $x+=0.1) {
    my $e = exp( -1 * (($x-$mean)**2) / (2*$var));
    my $d = sqrt($var) * sqrt(2*$pi);
    my $y = 1.0/$d*$e * $norm;
    printf ("%5.5f %5.5f\n", $x, $y);
}

Answer 5

正如其他人指出的那样，您可能需要累积分布函数。这可以通过误差函数获得（按平均值移动并按标准差缩放你的正态分布），它存在于标准数学库中，并且可以通过 Math 在 Perl 中访问： :Libm。

Answer 6

使用 Perl 的 Statistics::Distributions，您可以通过以下方式实现此目的：

#!/usr/bin/perl

use strict; use warnings;
use Statistics::Distributions qw(uprob);

my $x       = 0;
my $mean    = 4;
my $stdev   = 10;

print "Height of probablility distribution at point $x = "
    . (1-uprob(($x-$mean)/$stdev))."\n";

结果为“点 0 处的概率分布高度 = 0.34458”

Answer 7

以下是如何使用 CPAN 中的 Math::SymbolicX::Statistics::Distributions 模块：

use strict; use warnings;

use Math::SymbolicX::Statistics::Distributions qw/normal_distribution/;

my $norm = normal_distribution(qw/mean sd/);
print $norm->value(mean => 4, sd => 10, x => 0), "\n";

# curry it with the parameter values
$norm->implement(mean => 4, sd => 10);
print $norm->value(x => 0),"\n"; # prints the same as above

该模块中的 normal_distribution() 函数是函数生成器。 $norm 将是 Math::Symbolic ( ::Operator) 可以修改的对象。例如，implement，在上面的示例中，将两个参数变量替换为常量。

但请注意，正如德克指出的那样，您可能需要正态分布的累积函数。或者更一般地说是某个范围内的积分。

不幸的是，Math::Symbolic 无法进行符号积分。因此，您必须求助于诸如 Math::Integral::Romberg。 （或者，在 CPAN 中搜索错误函数的实现。）这可能很慢，但仍然很容易做到。将其添加到上面的代码片段中：

use Math::Integral::Romberg 'integral';

my ($int_sub) = $norm->to_sub(); # compile to a faster Perl sub
print $int_sub->(0),"\n";  # same number as above

print "p=" . integral($int_sub, -100., 0) . "\n";
# -100 is an arbitrary, small number

这应该为您提供 Dirk 答案中的 ~0.344578258389676 。