脚本编写者是否必须考虑舍入误差？

Question

我正在学习 C，出现了保护数字和舍入误差的想法。脚本语言（我这里指的是Python和Perl）的从业者需要担心这些东西吗？如果他们正在进行科学编程怎么办？

Answer 1

这取决于。 double 在任何地方的行为都是一样的，所以如果你用双精度数做数学，你在任何语言中都会遇到同样的问题。如果您使用本机任意精度类型，那么不，这不是问题。考虑一下：（

use Math::BigFloat;
my $big   = Math::BigFloat->new("1_000_000_000_000_000_000_000");
my $small = Math::BigFloat->new("0.000000000000000000000000001"); 
print $big + $small;

或者，如果您确实想隐藏正在发生的事情：）

use bignum;
print 1_000_000_000_000_000_000_000 + 0.000000000000000000000000001

正如

预期的那样，这会产生：

1000000000000000000000.000000000000000000000000001

同样如预期的那样，这不是在一条 CPU 指令中完成的。

Answer 2

我不得不不同意 Lutz 的观点……虽然你提到的舍入错误确实存在于 Python/Perl/Ruby 中，但它们与 C 中实现的语言完全无关。问题更深入比那个。

与所有数据一样，浮点数在现代计算机上以二进制表示。正如存在具有周期性十进制表示形式的数字（例如，1/3 = 0.333333...）一样，也存在具有周期性二进制表示形式的数字（例如，1/10 = 0.0001100110011...）。由于这些数字无法在（有限的）计算机内存中精确表示，因此涉及它们的任何计算都会引入错误。

这可以通过使用高精度数学库来解决，该数学库将数字表示为分数的两个数字（即“分子 = 1，分母 = 10”）或字符串，而不是使用本机二进制表示形式。然而，由于对作为其他内容存储的数字进行任何计算需要额外的工作，这些库必然会减慢必须经过它们的任何数学运算。

Answer 3

Python 中有多种类型的非整数：

x = 1 / 2

会给你标准浮点数。它的类型是float，本质上与C中的相同，由硬件处理，并且与世界上所有其他float有相同的问题。

然而，还有分数类型：

from fractions import Fraction

x = Fraction(1, 2)

它与有理数进行精确的算术运算。

如果您想要执行舍入，但对计算机上有意义的数字数量不满意，或者对跨平台可能有所不同的事实感到不满意，那么小数类型是您的朋友：

from decimal import Decimal

x = Decimal('0.5')

您将如果您愿意，可以将其精度设置为 100 位。或者针对银行申请将其设置为2。

只要计算机很愚蠢，我们就可能需要这么多不同类型的计算机。至少，根据 Pythonic 原则，Python 要求您对您想要从数字中得到什么做出明确的选择。

此外，认为精确的算术不会导致舍入问题是一个很大的误解。每当您对精确值进行舍入以对用户做一些有用的事情时（例如，将其打印给用户或将那么多美元添加到用户的银行帐户中），您都会遇到舍入的“奇怪行为”。这是非整数算术所固有的。

Answer 4

这取决于您如何表示数字，而不是您使用的语言。

例如，如果我用 8051 汇编编写所有代码，但实现了一个灵活的有理数库，那么四舍五入就不是问题。 1/3只等于1/3。

但是，如果我使用最新的时髦动态语言，并且它使用 IEE754 浮点数，则 IEEE754 的所有限制都适用。

如果您需要关心生成的数字的详细信息，那么您需要了解它们的表示形式以及您选择的工具如何操纵它们。

更新：

PDL 是一个在 Perl 中进行科学计算的流行库。

Answer 5

由于 CPython 和 Perl 的底层解释器都是用 C 实现的，因此它们的行为就像 C 程序。

对于 Python，有 SciPY 和 NumPy 用于科学计算。

Answer 6

您可以使用 Python 和外部模块进行多种精度计算。 官方网站中的多精度数学部分列出了其中的许多内容。

Answer 7

好吧，Ruby 中的浮点错误也无法幸免。例如：

irb(main):033:0> (2.01 * 1000).to_i
=> 2009
irb(main):034:0> ((2.01 * 1000.0) + 0.5).floor
=> 2010

Answer 8

当您进行科学编程时，无论您使用哪种编程语言或数字库，您总是需要担心舍入错误。

证明：假设您想跟踪宇宙边界附近分子的运动。宇宙的大小约为930亿光年（据我们所知）。分子非常小，因此您至少需要纳米精度 (10^-6)。这是 50 个数量级。

由于某种原因，您需要旋转该分子。这涉及 sin() 和 cos() 运算以及乘法。乘法不是问题，因为有效位数只是两个操作数长度的总和。但是sin()怎么样？

您必须创建误差方程以确保保留足够的数字，以便最终结果具有已知的最大误差。我不知道有任何“简单”的数字库可以自动执行此操作（例如，作为调用 sin() 的一部分）。这是您需要 Matlab 或类似工具的地方。

Answer 9

当然有！

Python 2.6 的一个例子：

>>> 1440.0 / 900.0
1.6000000000000001

正如 lutz 所说，由于脚本语言通常用 C 实现，因此它们继承了这些“功能”。用语言来补偿它们无疑意味着性能或可移植性方面的某种权衡。